46. Линейная зависимость и системы линейных уравнений. Связь ранга матрицы с базисом системы векторов.

1 Система векторов a₁, a₂, … , a_nназывается линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k₁, k₂, … , k_n , не все равные нулю, что

k₁a₁ + k₂a₂ + … + k_na_n = Θ, гдеΘ = {0, 0, … , 0}.

Система векторов a₁, a₂, … , a_nназывается линейно независимой, если из каждого соотношения вида k₁a₁ + k₂a₂ + … + k_na_n = Θследует

k₁=k₂= … =k_n=0.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n= Θ

имеет ненулевое решение. Система векторов линейно н е зависима тогда и только тогда, когда система уравнений a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n= Θимеет только нулевое решение.

Вектор b разлагается по линейно независимой системе a₁, a₂, … , a_n тогда и только тогда, когда a₁, a₂, … , a_n, b – линейно зависимая система векторов.

Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

2 Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1) эта часть является линейно независимой системой векторов;

2) каждый вектор системы разлагается по векторам этой части.

Рангомсистемы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из rвекторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

47. Общее уравнение кривой второго порядка. Определение вида кривой второго порядка по коэффициентам ее уравнения.

Определение кривой второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая урав­нением второй степени относительно текущих декартовых координат.

В общем случае это уравнение имеет следующий вид:

(1)

где коэффициенты  и  — действительные числа и, кроме того, по крайней мере одно из чисел: или отлично от нуля. Коэффициенты прииобозначены соответственно черезидля удобства преобразований уравнения. Известно, что уравнение окружности с центром в точкеи радиусаимеет вид

(2)

Это уравнение второй степени относительно и . Следовательно, окружность есть кривая второго порядка. Далее будут рассмотрены четыре кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

48. Определение окружности. Каноническое уравнение окружности. Приведения общего уравнения окружности к каноническому.

1. Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки С. Число R называется радиусом окружности, точка С – центром.

2. Пусть точка– центр окружности. Точка– произвольная точка окружности, а радиус этой окружности равен R. По определению, тогда, используя формулу вычисления длины вектора, имеем , тогда . Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид: - каноническое уравнение окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид: .

3. Приведения общего уравнения окружности к каноническому. Пример: