21. Эквивалентность систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, приводящие к эквивалентным системам линейных уравнений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования: 1) перестановка любых двух уравнений местами; 2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ; 3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ; Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида: Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (метод исключения переменных). Основные шаги, прямой и обратный ход метода.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Методы допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк;

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

• Прямой ход.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте а_nk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен c_nk=a_nk/a_kk. Элемент а_kk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.