28. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Исследование систем с определителем, равным нулю.

где - определители матрицы, полученные путем замены j-го столбца на столбец свободных членов

Исследование систем с определителем, равным нулю.

Если главный определитель системы уравнений равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несовместна.

28. Миноры и алгебраические дополнения, их связь с определителем матрицы. Вычисление определителей методом разложения по строке или столбцу.

32. Обратная матрица: определение, условие существования. Присоединенная матрица.

Обратная матрица A^-1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

Присоединенная матрица (взаимная матрица) к квадратной матрице  — матрица, в которой вместо каждого элемента  поставлено его алгебраическое дополнение , а затем матрица транспонирована. Для матрицы п-го порядка:

 

33. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1 способ:

1. Приписываем к матрице A справа единичную матрицу

2. Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную

3. Правая часть – это обратная матрица

4. Проверка: A·A^-1 = A^-1·A = E

2 способ:

1. Составить присоединенную матрицу А^*

2. Умножить А^* на ; - определитель исходной матрицы

3. Проверка: A·A^-1 = A^-1·A = E

34. Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.

А, С- матрица система; Х-матрица неизвестных; В-матрица свободных челов

1. А^-1×Х=В  Х=А^-1×В

2. Х×А=В  Х=А^-1×В

3. А×Х×С=В  Х=А^-1×В×С^-1

35. Ранг матрицы и его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Свойства:

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы

2. Ранг матрицы останется неизменным, если эквивалентно преобразовывать строки матрицы

Алгоритм вычисления:

1 способ:

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2)

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =3).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

2 способ:

1. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью эквивалентных преобразований строк

2. Ранг равен количеству ненулевых строк в матрице

36. Исследование систем линейных уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли  Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.  Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их. Следствие из теоремы Кронекера-Капелли  Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).  Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).  Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).