Теоремы о свойствах непрерывных функций

Задание. Из заданных высказываний сформируйте формулировки указанных теорем в виде: если А, то В. Если для некоторой теоремы приведенной формы недостаточно, допишите то, что считаете нужным.

Название теоремы	Формулировка
Первая теорема Больцано-Коши (об обращении функции в нуль)	Если ………, то …
Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточном значении)	Если ………, то …
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции)	Если ………, то …
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении функцией своих точных граней)	Если ………, то …
Теорема Кантора (о равномерной непрерывности)	Если ………, то …

Высказывания

Обозначение	Высказывание
A	функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b]
B	функция f (x) ограничена в [a, b]
С	функция f (x) достигает в промежутке [a, b] своих точной верхней M и точной нижней m граней
D	функция f (x) равномерно непрерывна в промежутке [a, b]
E	функция f (x) определена и непрерывна в некотором промежутке
K	f(a) =A, f(b) = B, a< b,
L	f(a)∙f(b) < 0
M	между a и b существует точка с, в которой функция обращается в нуль

Задания

• Какие основные способы задания функции Вы знаете? Каковы достоинства и недостатки каждого способа?

• При каком способе задания функции намного легче, чем при других, описать ее свойства, не используя специальных приемов исследования?

• Приведите примеры взаимно обратных функций и начертите эскизы их графиков.

• Какая связь существует между графиками взаимно обратных функций?

• Почему графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x?

• Постройте график функции

y = (x↑2 – (a+b)x +ab) / (x↑2 – (a+c)x +ac),

задав некоторые значения постоянных a,b,c.

• Какие виды неопределенности возможны при вычислении предела функции? Приведите примеры.

• Какие методы раскрытия неопределенностей при вычислении предела функции Вы знаете?

• Дайте геометрическую интерпретацию первому замечательному пределу.

• Пределом какой последовательности является число e по определению?

• Дайте геометрическую интерпретацию правила Лопиталя для раскрытия неопределенности вида { 0/0}.

• Выпишите как можно большее число функций вида f(x)= g(x)/q(x), для которых при x→ 0 g(x)→0, q(x)→0, f(x)→ 1.

• Какова зависимость дифференциала функции в точке от приращения аргумента в этой точке?

• Какой порядок малости имеет разность между приращением функции в точке и ее дифференциалом?

• Покажите на графике функции y=f(x) величины Δy и dy в некоторой точке x и кратко опишите, в чем их сходство, а в чем различие.

• В каких точках производная не существует?

• Выберите три элементарные функции f1(x), f2(x), f3(x) и вычислите производную функции y(x) = f1(2x)*f2(x^3)/f3(sin(x)).

• Составьте таблицу соответствия между основными задачами, которые нужно решить при исследовании функции y = f(x) и построении ее графика (левая половина таблицы) и методами решения этих задач (правая половина таблицы) по образцу:

Задача	Метод решения задачи
Вычислить точки пересечения функции с осью абсцисс	Реш Решить уравнение f (x) = 0

• Установите соответствие между основными задачами, которые нужно решить при исследовании функции y = f(x) и построении ее графика (левая половина таблицы 1) и методами решения этих задач (правая половина таблицы 1). Для этого проставьте в строке «Методы» таблицы 2 соответствующие номера методов из таблицы 1.

Таблица 1

№№ задач	Задачи	Методы решения задач	№№ методов
1	Вычислить точки пересечения с осью абсцисс	Вычислить y0 = f(0)	1
		Решить уравнение f ′ (x) = 0	2
2	Вычислить точки пересечения с осью ординат	Если функция содержит корень четной степени из функции g(x), то решить неравенство g(x)≥0. Если функция содержит дробь со знаменателем q(x), то решить уравнение q(x)=0. Решить неравенства, связанные с ограничениями на аргументы функций, входящих в f(x) Вычислить точки разрыва тригонометрических функций	3
3	Вычислить возможные точки экстремума
4	Определить характер изменения функции на границах интервалов непрерывности
5	Выделить из множества возможных точек экстремума точки минимума
		Решить уравнение f ″ (x) = 0	4
6	Выделить из множества возможных точек экстремума точки максимума	Критерий выделения: в этих точках вторая производная отрицательна	5
		Вычислить пределы f(x) при x→ - ∞, x→ + ∞, x→ a+0, x→ a-0	6
7	Вычислить точки перегиба
		Критерий выделения: в этих точках вторая производная положительна	7
8	Определить точки разрыва
		Решить уравнение f(x) = 0	8

Таблица 2

Задачи	1	2	3	4	5	6	7	8
Методы