Задания по курсу математического анализа ( первый семестр ) Общие вопросы
(1) Почему точку, прямую, плоскость мы называем идеализированными объектами? В чём идеальность каждого из них?
(1) Какой приём мышления применяется для получения идеализированных объектов?
(1) Можно ли функцию одной переменной считать идеализированным объектом? Приведите другие примеры идеализированных объектов.
(1) Чем можно опровергнуть общее утверждение?
(1) Можно ли доказать некое утверждение, приведя большое количество соответствующих примеров?
Множества чисел, их свойства
(1) Какое множество чисел является базовым для других множеств чисел?
(1) Перечислите множества чисел в порядке увеличения степени общности.
(1) Чем отличаются типы сечений рациональных и действительных чисел?
(1) Можно ли любое действительное число представить в виде бесконечной десятичной дроби?
(2) В чем различие десятичных дробей, которые представляют рациональные и действительные числа?
(3) Основываясь на представлении действительных чисел в виде десятичных дробей, докажите, что между любыми двумя числами расположено бесчисленное множество чисел.
Предел последовательности и предел функции
(1) Какая операция является базовой в математическом анализе?
(1) Верно ли утверждение: «Переменная величина представляет собой упорядоченное числовое множество»? Если считаете нужным, скорректируйте это утверждение.
(1)
ли
для
доказательства сходимости последовательности
вычислить её предел?(1) Является ли числовая последовательность упорядоченным множеством?
(1) Можно ли последовательность рассматривать как функцию?
(1) Какова мощность множества значений каждой из функций, рассматриваемых в теории предела последовательности?
(1) Какова мощность множества значений аргумента функций, рассматриваемых в теории предела последовательности?
(1) Равносильны ли определения предела функции на языке последовательности и на языке «ε-δ»?
(1) Пределом какой последовательности является число e по определению?
(1) Имеет ли бесконечно малая последовательность бесконечно малые значения?
(1) Имеет ли смысл словосочетание «бесконечно малые значения функции»?
(1) Эквивалентны ли понятия расходящейся последовательности бесконечно большой величины?
(1) Имеет ли смысл запись: xn → a при n → n0, где n0 ϵ N ?
(1) В чём существенное различие в характере изменения аргумента при определении предела функции и предела последовательности?
(1) Какие виды неопределенности возможны при вычислении предела функции? Приведите примеры.
(1) Можно ли раскрытие неопределённости каждого вида свести к вычислению предела отношения двух бесконечно малых величин?
(1) Что утверждает правило Лопиталя?
(2) Раскройте смысл понятия «раскрытие неопределенности вида
»,
используя понятие бесконечно малой
величины.(2) Закончите высказывание: «Под раскрытием неопределенности вида
понимается вычисление …» .
(2) Какие методы раскрытия неопределенностей при вычислении предела функции Вы знаете?
(2) Дайте геометрическую интерпретацию первому замечательному пределу.
(2) Сформулируйте все известные Вам теоремы о последовательностях, имеющих конечный предел.
(2) Почему понятие «предел последовательности» вводится ранее понятия «предел функции»?
(2) Может ли последовательность быть ограниченной, но не иметь конечного предела?
(2) Выпишите как можно большее число функций вида f(x)= g(x)/q(x), для которых при x→ 0 g(x)→0, q(x)→0, f(x)→ 1.
(2) Покажите экспериментально, что последовательность
,
вероятнее всего, имеет предел? Докажите,
что этот предел действительно существует.
(2) Дайте геометрическую интерпретацию следующих понятий и теорем:
Предел последовательности.
Предел функции.
Непрерывность функции в точке.
Теорема о вложенных промежутках.
(2) В чём сходство и различие следующих утверждений:
Число А называется пределом последовательности …
Последовательность называется сходящейся … ?
(3) Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что если an → a,
bn → b, то an+ bn → a + b, c xn → ca an bn → ab.