Функции, их свойства

• (1) Какие способы задания функции Вы знаете? Каковы достоинства и недостатки каждого способа?

• (1) При каком способе задания функции намного легче, чем при других, описать ее свойства, не используя специальных приемов исследования?

• (1) В чём различие между заданием функции в явном, неявном и параметрическом видах? Запишите в явном, неявном и параметрическом видах уравнение окружности, симметричной относительно начала декартовой системы координат.

• (1) В какой системе координат уравнение окружности имеет самый простой вид? Запишите это уравнение.

• (1) Какие функции называют в математическом анализе элементарными, а какие - сложными?

• (1) Является ли бесконечно малая величина функцией?

• (1) Какая связь существует между графиками взаимно обратных функций?

• (1) Каковы необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке?

• (1) В чём различие между понятиями монотонности функции в узком и в широком смысле слова?

• (1) Верно ли утверждение: «Непрерывность функции в точке является необходимым и достаточным условием для её дифференцируемости в этой точке»? Если считаете нужным, скорректируйте это утверждение.

• (1) Какие из теорем Вейерштрасса, Больцано-Коши, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу описывают свойства непрерывных, а какие – свойства дифференцируемых функций?

• (1) Свойства какого множества функций описывают теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу?

• (1) Входит ли непрерывность функции f(x) на [a, b] в условие первой теоремы Больцано-Коши?

• (1) Верно ли утверждение: «Чтобы сравнить две бесконечно малые, вычисляют предел их отношения» ?

• (2) Верна ли следующая формулировка правила Лопиталя: «Если предел отношения двух функций существует, то этот же предел имеет отношение производных этих функций»? Если считаете нужным, скорректируйте это утверждение.

• (2) Почему графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x?

• Приведите примеры взаимно обратных функций и начертите эскизы их графиков.

• (2) Какая связь существует между понятиями бесконечно малой и бесконечно большой величин?

• (2) Что означает «бесконечная малость» бесконечно малой величины?

• (2) Везде ли бесконечно малая величина должна быть бесконечно малой?

• (2) Какие теоремы используются при доказательстве теоремы Ролля?

• (2) Какое отношение существует между теоремами Ролля и Лагранжа?

• (2) Каким образом из теоремы Коши можно получить теорему Лагранжа?

• Верно ли утверждение, что в малой окрестности точки, в которой функция обращается в нуль, по разные стороны от этой точки функция имеет разные знаки? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Верно ли утверждение, что в малой окрестности точки, в которой производная функции обращается в нуль, по разные стороны от этой точки производная имеет разные знаки? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Верно ли утверждение, что в малой окрестности точки, в которой вторая производная функции обращается в нуль, по разные стороны от этой точки вторая производная имеет разные знаки? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Верно ли утверждение, что если при переходе через точку меняется знак производной, то в этой точке производная равна нулю? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Верно ли утверждение, что если при переходе через точку функция изменяет знак, то в этой точке значение функции равно нулю? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Верно ли утверждение, что если при переходе через точку меняется характер выгнутости кривой, то в этой точке вторая производная равна нулю? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Закончите утверждение: « Теорема Лагранжа – это теорема о среднем значении ____________________________________________________________________________»

• (3) Перечислите свойства функций, непрерывных на [a, b].

• (3) Сформулируйте теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши на языке геометрии.

• (3) Можно ли доказать теорему Коши, получив по теореме Лагранжа выражения для f(с), g(c) и разделив одно на другое? Обоснуйте ответ.

• (3) Верно ли утверждение: «Формула конечных приращений позволяет выразить значение функции f(x), непрерывной на [a, b], на одном из концов области определения через её значение на другом конце, а также значение производной этой функции в некоторой внутренней точке отрезка [a, b] и его длину»? Если утверждение неверно, поправьте его словесную формулировку. Запишите формулу, соответствующую верному утверждению. Дайте геометрическую интерпретацию этой формулы.

• (3) Являются ли равносильными такие определения точки перегиба:

1. Точка называется точкой перегиба, если при переходе через неё меняется характер выгнутости кривой.

2. Точка называется точкой перегиба, если кривая в этой точке переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. в этой точке кривая и касательная к ней пересекаются.

Если Вы ответили:

да, то скажите: что Вы понимаете под равносильностью определений, какие из точек x0, x1, x2, x3 на рис. 1 являются точками перегиба согласно каждого из этих определений.

нет, то скажите: какое из этих определений является более общим, при каком дополнительном условии они являются равносильными.