Производная функция и дифференциал функции

• (1) Какова зависимость дифференциала функции в точке от дифференциала аргумента в этой точке?

• (1) Какой порядок малости имеет разность между приращением функции в точке и ее дифференциалом?

• (1) Каковы геометрическая и физическая интерпретация понятия производной?

• (1) В каких точках производная не существует?

• (1) Какие размерности имеют производная и дифференциал функции s(t), если s – путь в метрах, t - время в секундах?

• (1) Как дифференциал функции выражается через саму функцию и дифференциал независимой переменной? Запишите формулу.

• (1) Покажите на графике функции y=f(x) величины Δy и dy в некоторой точке x и кратко опишите, в чем их сходство, а в чем различие.

• (1) В каких случаях Δx = dx?

• (1) Выберите три элементарные функции f1(x), f2(x), f3(x) и вычислите производную функции y(x) = f1(2x)*f2(x^3)/f3(sin(x)).

• (1) Поясните, что означает утверждение: «Дифференциал dy инвариантен относительно замены независимой переменной». Верно ли это утверждение?

• (1) Верно ли утверждение, что в точке, в которой функция имеет наибольшее (наименьшее) значение, производная равна нулю? Обоснуйте Ваше мнение.

• (2) Чему равна производная функции y = f(x) в некоторой точке x, если в окрестности этой точки бесконечно малые величины ∆y и ∆x являются эквивалентными?

• (2) Запишите несколько сложных функций одной переменной разного типа и вычислите их производные первого и второго порядков.

• (2) Вычислите с точностью до целых (N - номер фамилии студента в списке группы):

.

• (2) Вычислите приближенно с помощью дифференциала функции значение функции в точке (N - номер фамилии студента в списке группы):

Номера N	Значение функции
1, 2, 3, 13, 17, 18	sin( 30°+N°)
4, 5, 6	cos(37°- N°)
7, 8, 9, 12	tg(35°+N°)
10, 15, 20	tg(3,1N°)
11, 14, 16, 19, 21	tg(3N°)
22, 23, 24, 28, 29	cos(2N°)
25, 26, 27	ctg(2N°+9°)
30	ctg(2,1N°)

• (3) Поясните, что означает утверждение: «Дифференциал d ²y инвариантен относительно замены независимой переменной». Верно ли это утверждение?

Исследование функций и построение их графиков

• (1) Каким образом из бесчисленного множества значений функции на отрезке выбирают наибольшее и наименьшее значения?

• (2) Верно ли определение: « значением функции называется самое из её значений»? Если определение верно, то существует ли функция, у которой наибольшее и наименьшее значения равны?

• (2) Всякая ли функция имеет наибольшее и наименьшее значения? Обоснуйте ответ.

• (2) Покажите, как получить график сложной функции z = f(t), имея графики функций z = f(y), y = g(x), x = p (t). Графики каждой из функций расположены в первом квадранте.

• (3) Определите асимптоты кривой у = x + . Предложите такое обобщение понятия асимптоты кривой, чтобы кривая у = также считалась асимптотой кривой у = x + . Предложите объяснение, почему такое обобщение не принято в качестве определения асимптоты.

• (3) Постройте график функции y = (x↑2 – (a+b)x +ab) / (x↑2 – (a+c)x +ac),

задав некоторые значения параметров a, b, c.

• (3) Составьте таблицу соответствия между основными задачами, которые нужно решить при исследовании функции y = f(x) и построении ее графика (левая половина таблицы) и методами решения этих задач (правая половина таблицы) по образцу:

Задача	Метод решения задачи
Вычислить точки пересечения функции с осью абсцисс	Решит Решить уравнение f (x) = 0