2. Позиционные системы счисления. Двоичная система счисления.

Позиционной системой счисления называется система записи любых по величине чисел, в которой значение цифры зависит от её положения в числе, т.е. веса. Число цифр в позиционной системе счисления ограничено.

Основание (базис) r позиционной системы счисления – максимальное количество различных знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым числом, кроме 1 и бесконечности.

Любое число в системе счисления с основанием r может быть записано в общем виде:

или , где любая разрядная цифра , а – вес соответствующего разряда.

Двоичная система счисления

Для записи числа в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Основание системы записывается как 10(2) (2(10)=1*2^1+0*2^0). Используя данную систему, любое число можно выразить последовательностью высоких и низких потенциалов или группой запоминающих элементов, способных запоминать одно из двух значений. Арифметические операции в двоичной системе выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе

П ример:

3. Перевод чисел из десятичной в двоичную систему счисления.

Целая и дробная части переводятся отдельно.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное:

• последовательно выполнять деление целого десятичного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получится частное, меньшее 2; записать полученные остатки в обратной последовательности.

П ример. Число   перевести в двоичную систему счисления.

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в двоичную:

• последовательно выполнять умножение десятичной дроби и получаемых дробных частей произведения на 2 до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность; записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

 При переводе небольших чисел можно использовать метод подбора степеней оснований. При этом сначала выявляется наибольшая степень основания r_B^n-1 новой системы, т.е. вес старшей цифры, а затем и сама цифра. Далее находятся веса и цифры последующих разрядов вплоть до младшего. При переводе правильных дробей используется метод подбора величин, обратных степени основания.

Для разрядов правильной дроби веса в том же соотношении, начиная от запятой, убывают. Таким образом, в развернутой форме произвольное смешанное число А будет иметь следующий вид:

A=a_nrⁿ+...+a₁r¹+a₀r⁰+a_-1r^-1+...+a_-mr^-m , или в свёрнутой форме: A=±∑A_irⁱ

Перевод правильных дробей

Метод умножение на основание R2 новой системы счисления:

Пусть А_ц - правильная десятичная дробь ,тогда его можно записать в виде:

А_др = а _-1 х 2 ^-1 + а _-2 х 2 ^-2 +...

Если А_др умножить на 2 , то в правой части получим а _-1 + а _-2 х 2 ^-1 + а_-3 х 2 ^-2 +...,

где а_-1 - целая часть, она и даст нам старший коэффициент в разложении числа А_др по степеням 2. Оставшуюся дробную часть снова умножим на 2 и получим а _-2 + а_-3 х 2 ^-1 +... , где а_-2 - второй коэффициент после запятой в двоичном представлении числа. Процесс продолжить до тех пор, пока в правой части не получим 0 или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Пример.

0,75₁₀ = 0,11₂ Проверка: 0,11₂ = 1 х 2 ^-1 + 1 х 2 ^-2 = 0,5 + 0,25 = 0,75₁₀

Этот процесс может продолжаться бесконечно,   его обрывают на том шаге, когда считают,   что получена требуемая точность.