Тема 1. Определители, матрицы, системы

1. Определитель (число), детерминант – числовая характеристика для квадратной матрицы.

2. П равила вычисления определителей второго и третьего порядка:

Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число

Аналогично, для определителя третьего порядка:

Определители третьего порядка вычисляются по правилу Саррюса: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента их противоположного угла матрицы, а слагаемые со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно побочной диагонали.

3. Свойства определителей:

• При транспонировании матрицы определитель не изменяется

• При перестановке каких-либо двух строк/столбцов определитель меняет знак

• Если в определителе есть кратное строке/столбцу, то коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя

• Если есть нулевая строка/столбец, то определитель равен 0

• Если в определителе есть 2 одинаковых столбца/строки, то определитель равен 0

• Определитель не изменится, если к любой строке/столбцу прибавить любой другой столбец/строку с любым коэффициентом

• Определитель равен сумме произведений элементов каких-либо строк/столбцов на их алгебраическое дополнение

• Если все элемента какого-либо ряда определителя, кроме одного, равны 0, то определитель равен этому, не равному нулю элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение

• Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали

4. Миноры и алгебраические дополнения

Минор – к a_i,j называется определитель, получившийся из данной матрицы путем вычеркивания i-строки и j-столбца.

Алгебраические дополнения – к элементу a_i,j называется A_ij=(-1)^i+j * M_ij, если i+j – четное, то A_ij= M_ij, если нечетное - A_ij=- M_ij,

5. Теорема Лапласа

Определитель можно разложить по любой строке/столбцу – он равен сумме произведений элементов любой строки/столбца на свое алгебраическое дополнение.

6. Вычисление определителей высших порядков, правило треугольника.

Правило треугольника:

Разложение по алгебраическому дополнению:

Приведение к треугольному виду:

Преобразование, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными 0. А определитель матрицы равен произведению элементов на его диагонали.

*****************************************************************************************************

7. Матрица – упорядоченная по строкам и столбцам совокупность элементов, матрица размером m x n – прямоугольная таблица из чисел a_ij, состоящая из m строк и n столбцов.

8. Виды матриц:

• Квадратная (m=n)

• Прямоугольная (m>n или n>m)

• Строчная (m=1)

• Столбцовая (n=1)

• Диагональная (A=diag (a,b,c) = )

• Единичная (A=diag (a,b,c) = )

9. Основные операции с матрицами и их свойства

Операции (А, В):

• Сложение/вычитание – для матриц одинаковой размерности, каждый элемент матрицы суммы равен сумме соответственных элементов матриц А и В

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

• Умножение на коэффициент (α*А) – матрица, получившаяся из матрицы А путем умножения всех элементов на α

1. α(А+В)=αА+αВ

2. (αβ)А=α(βА)

• Транспонирование матрицы – все строки матрицы меняются на столбцы с такими же номерами

• Для любой квадратной матрицы можно сосчитать определитель

• Умножение матриц – матрица С, элемент которой, стоящий в i-строке и j-столбце, равен сумы произведений соответственных элементов i-строки матрицы А и j-столбца матрицы В. Умножать можно те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго.

• Для любой квадратной невырожденной (определитель не равен 0) матрицы можно найти обратную матрицу

, А^* из алгебраических дополнений.

• Аⁿ=А*А…А

Свойства:

• А(В+С)=АВ+АС

• А(ВС)=(АВ)С

• α(АВ)=(αА)В

• (АВ)^Т=В^Т А^Т

• (А+В)^Т=А^Т+В^Т