Тема 3. Элементы линейной алгебры.

1. Линейное пространство (определение, примеры)

Понятие вектора можно обобщить на пространстве любой размерности. Пусть x y z – элементы некоторого пространства (множества) L, пусть в этом пространстве определяются следующие операции – сложение и умножение на коэффициент.

1. x+y=z ϵ L (Ұxy)

2. αx ϵ L (Ұαβxy)

При этом выполняются следующие аксиомы:

(нулевой элемент, что ). (противоположный элементу ), что

Тогда данное пространство будет линейным (часто-векторное, а элементы – вектора).

Обозначенные 8 аксиом позволяют в линейном пространстве при выполнении линейных операций действовать по общим правилам.

• Любое векторное пространство является линейным

• Множество вещественных чисел является линейным

• a₃t³+ a₂t²+ a₁t+ a₀ – пространство многочленов в третьей степени – линейным пространством не является, если пространство многочленов в степени не выше третьей степени – линейное пространство

• линейным пространством являются n-мерные наборы вещественных чисел (векторы) L_n: {x₁ x₂…x_n} x_i ϵR

2. Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной. Система линейно зависима что Система линейно независима . Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

3. Базис. Координаты.

Базис - любая упорядоченная система из n-линейно независимых векторов пространства . Обозначение: Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

4. Изменение координат при замене базиса (матрица перехода)

Пусть β=(е₁ …е_n) и β’=( е’₁ …е’_n) – два различных базиса в L_n. Каждый из векторов базиса β разложим по базису β’.

Матрицей перехода T от базиса β к базису β’ называется матрица, k-й столбец которой есть столбец E’_k координат вектора e’_k в базисе β. Если x – произвольный вектор из L_n, X и X’ – столбцы координат в базисах β и β’ соответственно, то имеет место равенство X’=T_β→β’^-1X (формула преобразования координат при преобразовании базиса).

5. Определение скалярного произведения в линейном пространстве

Число называют скалярным произведением векторов и , - скалярным квадратом вектора (пишут ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов и .

Если каждой паре векторов из линейного пространства E поставлено в соответствие действительное число , так, что для любых из E и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

при чем (x,x)=0 ↔x=0, то говорят, что в линейном пространстве определено скалярное произведение .