10. Зависимость матрицы от базиса

Вид матрицы зависит от базиса.

11. Собственные значения и вектора линейного оператора, их зависимость

Если после воздействия линейного оператора на вектор x получается вектор коллинеарный ему, то этот вектор называется собственным.

Пусть число и вектор xϵL, x≠0, таковы, что Ах= х. Тогда число называется собственным числом линейного оператора А, а вектор x – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .

- характеристическая матрица. Так как нулевое решение не устраивает, то остается вариант – бесконечно. Det =0. | |=0. Так находится собственное число, и собственный вектор. Каждому собственному числу будет соответствовать бесконечное множество собственных векторов, а собственному вектору – единственное число.

12. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов

Если матрица оператора известна в другом базисе, то всегда можно перейти к базису из собственных векторов с помощью матрицы перехода и получить Aдиаг=T^-1AT

13. Условия существования базиса из собственных векторов

1. , в этом случае можно построить базис из собственных векторов, а оператор – оператор простой структуры, каждый собственный вектор находится с точностью до константы

2. 

3. - также можно построить базис из собственных векторов

14. Примеры операторов

1. Ортогональный – ортонормированный базис – матрица ортогонализации (ортогональная матрица – такая матрица, когда A^-1=A^T)

2. Самосопряженный – матрица операторов (симметричная, собственные числа – действительные, собственные векторы – ортогональные)

3. Пусть R - линейное пространство. Положим . Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором. Часто обозначается I (A=1).

4. Если R и R1- произвольные пространства и (здесь О - нулевой элемент ), то О называется нулевым оператором.

5. (Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное). Пусть А - линейный оператор, отображающий n-мерное пространство с базисом Если , то и в силу линейности оператора А, . Но c базисом , значит . Следовательно, оператор А определяется матрицей коэффициентов :

15. Квадратичные формы

Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени от n переменных.

Если переменные принимают действительные значения, квадратичная форма называется действительной.

16. Упрощение общего уравнения линий и поверхностей второго порядка. Приведение их к каноническому виду

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду (избавиться от смешанного произведение) при повороте системы координат.

Преобразование кривых второго порядка

Приведение разбивается на 2 части:

1. Преобразование квадратичной формы (поворот из естественного базиса в базис из собственных векторов)

2. Преобразование линейной части (выделение полного квадрата)

Тема 4. Введение в анализ

1. Комплексные числа (формы записи, основные операции)

1. алгебраическая форма записи - z=x+iy; x,y ϵ R; z ϵ C

2. в декартовой системе координат - где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось. - число, сопряженное числу z = a + bi;

3. полярная - модуль комплексного числа; аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента) - ;

4. комплексная

5. формула Эйлера

6. показательная

действия:

• сложение (в алгебраической форме)

• умножение (в показательной)

• деление (в показательной) ;

• n-степень (в показательной)

• извлечение в n-степени

2. Многочлены в комплексной области (основные теоремы)

Многочленом n-й степени в комплексной области называется функция вида , где - комплексные числа. Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

Два многочлена Pn (z) и равны тогда и только тогда, когда m=n, a0 = b0 , a1 = b1 ,…, an = bn . Число z0 называется корнем многочлена , если Pn (z0) = 0.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(z) на z – z0 ( z0 – не обязательно корень многочлена) равен P(z0).

Доказательство. Разделив P(z) на z – z0 , получим: P(z) = Q(z)(z – z0) + r, где число r – остаток от деления, а Q(z) – многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z0 найдем, что r = P(z0), что и требовалось доказать.

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства).