Переменные и постоянные величины, множества (основные понятия)
Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения
Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.
Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.
Множество - любой чётко определенный набор объектов (элементов множества).
Функция (определение, способы задания, свойства)
Функция
(отображение, операция, оператор) — это
закон или правило, согласно которому
каждому элементу x из
множества X ставится в
соответствие единственный элемент y
из множества Y . При этом
говорят, что функция f
задана на множестве X, или
что f отображает X
в Y, и пишут
.
Здесь x можно понимать,
как переменную, принимающую значения
из множества X.
Аналитический способ - Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции.
Табличный способ - Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции.
Графический способ - Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости.
Рекурсивный способ - Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения. Примеры: факториал; числа Фибоначчи.
Словесный способ - Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями.
Свойства:
Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
Периодичность функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).