6. Евклидово пространство (определение, примеры)

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется число (скалярное произведение) так, что и выполняются аксиомы. Можно ввести длину вектора - число. С помощью скалярного произведения можно находить углы между векторами .

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• размерности 1 (вещественная прямая)

• размерности 2 (евклидова плоскость)

• размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)

Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Более абстрактный пример:

пространство вещественных многочленов p(x) степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например)

7. Неравенство Коши-Буняковского

Для любых двух элементов из произвольного евклидова пространства E справедливо неравенство которое позволяет определить угол между ненулевыми векторами . Ненулевые векторы x, y ϵ E называются ортогональными, если (x, y)=0

Для того, чтобы можно было пользоваться формулой неравенства в произвольном евклидовом пространстве E , нам надо показать, что cosφ ≤ 1 для любых векторов x,y ϵ E . Для доказательства этого утверждения рассмотрим вектор

αx - y , где α - вещественное число. В силу аксиомы при любом α квадратичная форма положительно определена, т.е.

(αx - y,αx - y)≥ 0 или α² (x, x) - 2α(x, y) + (y, y)≥ 0. В левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен относительно α с постоянными коэффициентами. Трёхчлен не может иметь различных вещественных корней, так как тогда он не

мог бы сохранять знака для всех значений α . Поэтому дискриминант этого многочлена не может быть положительным (x, y)² - (x, x)(y, y)≤ 0 . Следовательно (x, y)²≤ (x, x)(y, y), откуда, извлекая квадратный корень, получаем

|(x, y)|≤ |x| |y| , что и требовалось доказать. Это неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.

8. Ортонормированный базис и его построение. Процесс ортогонализации.

Векторы ортогональны, если Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если векторы системы попарно ортогональны. Ортогональная система векторов n-мерного евклидова пространства называется ортонормированной, если все векторы системы имеют единичную длину.

Система векторов для которой называется ортонормированной.

Во всяком пространстве существует ортонормированный базис. Из произвольного базиса пространства ортогональный базис может быть построен с помощью процесса ортогонализации: где где

Пронормировав каждый вектор получим ортонормированный базис. В ортонормированном базисе ( ) для векторов имеем:

9. Линейный оператор и его матрица

Если каждому вектору x поставить в соответствие по некоторому правилу y, то мы зададим отображение (оператор). . Оператор будет линейным, если

Условия 1 и 2 равносильны соотношению

М атрица линейного оператора в базисе ( ) - матрица , столбцами которой являются столбцы образов базисных векторов оператора f, т. е. Если в базисе ( ) имеет координатный столбец - линейный оператор с матрицей A в данном базисе, - координатный столбец вектора , то Y = AX (употребляется также запись ). Более подробно: