14. Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямой и плоскости

Плоскость и прямая

1) пересекаются

2) прямая лежит в плоскости

3) параллельны

Е сли то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

1)

2)

3)

Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Точка пересечения прямой с плоскостью где

Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости :

15. Кривые второго порядка

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид Ax²+2Ичн+Сy²+Dx+Ey+F=0, где не все коэффициенты А, В, С равны одновременно нулю (в противном случае кривая – прямая, т.е. кривая первого порядка).

В общем случае может оказаться, что уравнение определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую). Если же кривая невырожденная, то для нее найдется такая декартовая прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение): , кривая называется эллипсом, гиперболой или параболой, а система координат называется канонической для заданной кривой.

16. Окружность, эллипс, гипербола, парабола (вывод канонического уравнения, исследование кривой)

Окружность радиуса R с центром в начале координат: Уравнение касательной к окружности в произвольной точке Параметрические уравнения: Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):

Эллипс – множество точек на плоскости, находящихся на данном расстоянии (≠0) от двух заданных точек.

П усть на плоскости заданы две точки и и дано число a (a > c). Эллипс - множество точек M плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от точек и равна 2a. Точки и называются фокусами эллипса; - большая ось; - малая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы;

С – фокусное расстояние, Каноническое уравнение:

Эксцентриситет: Уравнения директрис:

Параметрические уравнения эллипса: Площадь, ограниченная эллипсом:

О бозначим фокусы эллипса буквами и . Расстояние между ними - фокальное расстояние , и . Если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса - характеристическое уравнение эллипса.

Введем систему координат: , и . Тогда фокусами будут точки и .

Пусть - любая точка эллипса, тогда

Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

Преобразуем равенство: ,

Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень: , , , , , , , , , , - каноническое уравнение эллипса.

Гипербола – множество точек на плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний до двух заданных точек есть величина постоянная (≠0).

П усть на плоскости заданы две точки и и дано число a (0 < a < c). и называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; - вершины; - фокальные радиусы: Каноническое уравнение: Эксцентриситет: Уравнения директрис: Уравнения асимптот: Уравнение гиперболы, сопряженной данной Параметрические уравнения гиперболы: Пусть — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы или , т.е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

П арабола – множество точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки и до заданной прямой – величина постоянная. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Д ля вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты, а уравнение директрисы имеет вид . Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками находим: Следовательно, Возведя обе части уравнения в квадрат, получим . Уравнение называется каноническим уравнением параболы.