- •Тема 1. Определители, матрицы, системы
- •П равила вычисления определителей второго и третьего порядка:
- •Свойства определителей:
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Теорема Лапласа
- •Вычисление определителей высших порядков, правило треугольника.
- •Виды матриц:
- •Основные операции с матрицами и их свойства
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Теорема о существовании и единственности обратной матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений (основные понятия)
- •Методы решения
- •Условия применяемости методов
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Однородные системы
- •Фундаментальная система решений
- •Связь между однородной и неоднородной системами решений
- •Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
- •Векторная алгебра (основные понятия)
- •Действия над векторами
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Теоремы о единственности разложения любого вектора пространства (r2, r3)
- •Координаты, проекция вектора на ось
- •Декартова система координат
- •Скалярное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Векторное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Смешанное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Соответствие между геометрическими образами и уравнениями.
- •Плоскость в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Прямая на плоскости и в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Окружность, эллипс, гипербола, парабола (вывод канонического уравнения, исследование кривой)
- •Преобразование системы координат на плоскости (параллельный перенос, поворот)
- •6 Основных типов поверхностей второго порядка
- •С истемы координат
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры.
- •Линейное пространство (определение, примеры)
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Базис. Координаты.
- •Изменение координат при замене базиса (матрица перехода)
- •Определение скалярного произведения в линейном пространстве
- •Евклидово пространство (определение, примеры)
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Ортонормированный базис и его построение. Процесс ортогонализации.
- •Линейный оператор и его матрица
- •Зависимость матрицы от базиса
- •Собственные значения и вектора линейного оператора, их зависимость
- •Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов
- •Условия существования базиса из собственных векторов
- •Примеры операторов
- •Квадратичные формы
- •Упрощение общего уравнения линий и поверхностей второго порядка. Приведение их к каноническому виду
- •Тема 4. Введение в анализ
- •Комплексные числа (формы записи, основные операции)
- •Переменные и постоянные величины, множества (основные понятия)
- •Функция (определение, способы задания, свойства)
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции, геометрическая интерпретация
- •У равнения касательной и нормали
- •Гиперболические функции
- •Понятие дифференцируемой функции
- •Формула тейлора
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
Предел числовой последовательности
Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства.
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
Для любого положительного E найдется N зависящее от E такое что для любого члена последовательности с номером больше N будет выполняться модульное неравенство: A-E<an<A+У (будут попадать в епселен окрестность точки А)
Предел функции, геометрическая интерпретация
Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
У равнения касательной и нормали
Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0– f'(x0)·x0.
Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 или y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)
Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.
Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.
Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:
Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:
Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0.
Гиперболические функции
Г иперболические функции, функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:
Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:
Г. ф. можно выразить через тригонометрические: Геометрически Г. ф. получаются из рассмотрения равнобочной гиперболы х2—у2 = 1, которую можно задать параметрическими уравнениями х = ch t, у = sh t, аргумент t представляет двойную площадь сектора гиперболы ОАС (см. рис. 2). Обратные Г. ф. (ареа-синус гиперболический и ареа-косинус гиперболический) определяются формулами: