Глава 2. "Ловушки" математики

Подробным образом рассматриваются те ловушки, в которые попадает в среднем звене сознание ребенка, прошедшего курс традиционной начальной математики и, казалось бы, выучившегося арифметической премудрости. Показывается, почему традиционные типы задач и традиционная схема обучения математике не позволяют ребенку, успешно прошедшему трехлетний цикл начального обучения, перейти нетравматичным образом к освоению систематической математики среднего звена. Почему ребенок, успешно успевающей по математике в последнем классе начальной школы, вдруг оказывается совершенно не способен к математике при переходе на следующую ступень обучения?

Речь идет о глубинной несостыкованности программ обучения математике в начальной и средней школах. Этот факт, как известно, был положен в основу ряда экспериментов по качественной переработке системы математического обучения в начальной школе - наиболее известным и глубоким вариантом такого рода переработки является система развивающего обучения В.В.Давыдова, - однако описываемый нами эксперимент позволил поставить существенно новые акценты и привел к созданию целой группы учебных задач, позволяющих сознанию ребенка избежать указанных ловушек. В данном разделе дано подробное описание этих задач и продемонстрировано, к каким результатам может привести практическая работа с этими типами задач.

Глава 3. Что значит "понимать"?

Структуры детского (мифопоэтического) понимания в диалоге со структурами логического мышления - предмет обсуждения данной главы. Логический каркас математического мышления в диалоге с вероятностным характером мышления младшего школьника. Математика как логика. Логические структуры, спрятанные в математических задачах и необходимость их дешифровки для младшего школьника. Это то, на что обычно вообще не обращается внимания в преподавании математики в младших классах. В лучшем случае вводятся специальные занятия по формальной логике, но внутри преподавания самой математики совершенно не принята практика экспликации ее скрытых логических структур. В частности, вплоть до среднего звена от сознания детей ускользает тот факт, что знак равенства представляет собой жесткую логическую связку, а, скажем, знак "плюс" или знак "минус" такой жесткой логической связки не несет. Когда учащемуся первого или второго класса предъявляется задача типа _5=15, где он должен заполнить каким-нибудь знаком одну пропущенную позицию, он может в первый момент с легкостью предъявить какой угодно вариант - скажем, предложить поставить туда шестерку. А в выражении _5+15 на вопрос "какой знак здесь пропущен?", он может достаточно уверенно предлагать какие-то варианты, совершенно не видя абсурдности поставленного вопроса и того, что никакой определенный вариант здесь попросту невозможен (то, что оказывается вполне очевидным для взрослого сознания). А на вопрос: как ты думаешь, какой знак должен стоять между 1/2 и 1/2 может, к примеру, ответить: "плюс", но едва ли скажет "знак равенства", если только не предложить ему в условии задачи выбрать между знаком "равно" и знаком "больше-меньше". В последнем случае он, конечно же, без труда совершит верный выбор...

Оказывается, что скрывающиеся за теми или иными арифметическими знаками логические связки для учащегося начальной школы совершенно неочевидны и вовсе не представлены автоматически, коль скоро он освоил заложенные в программу арифметические упражнения.

Вся проблема в том, что "понимать" на языке дошкольника и "понимать" в логическом, взрослом смысле - это существенно различные вещи. Очень часто на языке ребенка формулировка "я понял" может расшифровываться как: "я услышал" или: "я запомнил". Или может означать множество других вещей, совершенно не предполагаемых взрослым. Ребенок очень часто запоминает текст, произносимый взрослым, и повторяет его к вящему удовольствию учителя. Однако при чем же здесь понимание? Очень часто бывает так, что ребенок уже перерешал громадное количество арифметических примеров и - ночью его разбуди, - он ответит, что семь плюс восемь - пятнадцать, а семнадцать плюс четырнадцать - тридцать один. Однако чаще всего это просто выучено как некий стишок, который ребенок готов рассказывать наизусть, однако при этом смысл сложения, вычитания, умножения или деления остается ему совершенно не ясен. Проверить, так это или не так, очень просто: предложить ребенку дать графическую интерпретацию совершенного им математического действия. И вот тут-то выясняется реальная цена его арифметических умений.

Ведь как строится обычно обучение математике в начальной школе? Как правило, так: учитель нечто объясняет, после чего спрашивает ребенка: ты понял? И если ребенок отвечает утвердительно, учитель вполне удовлетворен. Однако одна из наиболее частых обманок, на которую попадаются и тот и другой: понимание у ученика подменяется запоминанием.

Или вот другая обманка. Считается: если ребенок правильно и успешно решает примеры на сложение - значит, он понимает, что такое сложение; если правильно решает примеры на деление и умножение - значит, понимает, что такое деление и умножение и т.п. Однако достаточно поставить ряд проверочных экспериментов для того, чтобы убедиться, что это не так. Самый простой путь проверки - попросить представить графически любое арифметическое действие. Любопытно, что в этом смысле самыми трудными оказываются для детей, уже прошедших курс обучения в первом классе, «картиночные» задания самых первых страниц книги по математике за первый класс.

В данной главе представлены многочисленные понимательные сшибки, которые возникают у всякого ребенка младшего школьного возраста, но о которых чаще всего не подозревают учителя начальной школы, поскольку проявляются эти сшибки только на более высоких ступенях школьного обучения. В рамках описываемого эксперимента удалось выявить многие из этих тайных сшибок уже при работе с детьми 1-2 класса в результате целого ряда разработанных авторами остроумных и оригинальных задач, которые и предлагаются вниманию читателя с подробными комментариями тех трудностей, которые возникают у ребенка. Такой подход позволяет учителю более глубоко понять природу детского понимания и непонимания, по-новому взглянуть на многое в традиционных методиках преподавания математики.