Глава 6. Вселенная сложения

Впрочем, если кто-то думает, что сложение для детей, освоивших идею дробного числа, не составляет никаких трудностей, глубоко ошибается. Совсем напротив, в рамках своего эксперимента мы пришли к выводу, что операция сложения - это фантастически сложная операция - конечно, если относиться к ней всерьез, а не на том поверхностном уровне, на котором эту операцию (в виде ничего не говорящего уму и логическим способностям счетного навыка) преподносят в обычной начальной школе.

Ну, во-первых, операция сложения оказывается возможной в нашей системе лишь постольку, поскольку произведена предварительная операция разложения целого на части. Или, скажем иначе: операция деления целого на части (при том деление на равные части, под коим обычно младший школьник только и подразумевает операцию деления вообще, оказывается всего лишь частным случаем деления вообще!).

Итак, коль скоро мы научились делить целое на равные и на неравные части, - мы можем осуществлять обратную операцию, операцию сложения частей или операцию восстановления целого.

Конечно, все описываемые логические построения обычно совершенно чужды сознанию младшего школьника. Он складывает не потому, что этого требует какая-то логика, а потому, что его научили: если к двум прибавишь два, получится нечто, что мы назовем четыре. А что есть это "нечто", ему, в общем-то, абсолютно все равно. Он заучивает наизусть множество "примеров на сложение" (как потом - примеров на вычитание или на деление и умножение), потому что это требует школьная программа. И он научается считать, совершенно не понимая при этом, что он делает.

А стоит ему - уже к концу третьего класса! - предложить произвольное число - скажем, число 89 - разложить на произвольное количество частей, как он теряется. А предложение решить задачу 89=44+_5+2_, где каждый пропуск нужно заменить одним знаком, вызывает у него чувство невыносимого напряжения, и он ломается на этой задаче, оказываясь неспособным вообще понять, что от него требуется. А ведь это вариант все той же задачи на сложение - просто представленный в нестандартном для младшеклассника виде!

Потому-то и оказывается операция сложения более сложной, что она требует больших степеней абстракции, ибо обратной операцией для нее оказывается, конечно же, отнюдь не операция вычитания, а операция разложения на части. Частным случаем операции разложения на части (в случае разложения на равные части) оказывается то, что традиционно именуется операцией "деления".

Сложение неравных частей в целое, восстановление целого - это вообще крайне сложная в логическом отношении операция, и оттого целесообразно отработать эту операцию в графических формах, чему посвящена целая группа задач, разработаннных авторами данной системы обучения.

Еще одна группа крайне сложных задач на сложение, группа задач, требующая развития высокого уровня абстрагирующей способности - это задачи на сложение с отрицательными числами, что в традиционной школе обычно подменяется некоей операцией, именуемой вычитанием. Вычитание в младшешкольном смысле тоже ведь можно натренировать без малейшего привлечения каких бы то ни было умственных способностей. Но при чем здесь, однако, математика? Хорошие счетные способности - это повод выступать в цирке, но никак не основание для занятий математикой. А ведь детям после начальной школы - не в цирк, а в пятый класс идти...

А там на них обрушивается бред отрицательных чисел, который противоречит всему их опыту трехлетнего освоения математики, в котором их настойчиво учили, что есть некое "уменьшаемое", "вычитаемое" и некая "разность". И попробуйте теперь сознанию, в которое вбито такое представление, объяснить суть выражения типа 5-6=-1. Шесть - это что? "Вычитаемое" из пяти? Какой бред! Из пяти нельзя вычесть шесть, поскольку в пяти нет шести, которые из него можно было бы вычесть!.. А пять - это что? Уменьшаемое? Но уменьшить нельзя более, чем до ничего!

Кстати сказать, что касается слова "разность", то оно появляется в школьной трактовке операции вычитания вообще из другой оперы. Ведь что такое разность? Само слово разность несет на себе нагрузку действия, вообще не имеющего отношения ни к уменьшению, ни к вычитанию. Определение разности - это по сути своей есть определение разницы двух чисел в числовом выражении, а, следовательно, есть по своей сути результат не операции вычитания, но операции сравнения величин. Скажем, ребенку предлагаются два числа: число 5 и число 6 и предлагается ответить на вопрос, какова их количественная разница, или, другими словами, какова их разность. И ребенок отвечает: "разность между числами пять и шесть составляет один!".

Ну, а что же операция вычитания? Ее что - вообще не существует?

Существует. Но не как "операция, обратная сложению", а как операция количественного сравнения величин.

Даны два числа: минус восемь и десять. Нужно определить между ними разность, т.е. количественную разницу. Как это сделать? Очевидно, в два приема. Во-первых, определяем, какое из этих двух чисел больше. А, во вторых, вычитаем из большего меньшее. Вот так: 10-(-8)=18. И тогда все встает на свои места. Мы получаем разность, вычитая не из уменьшаемого вычитаемое, а из большего меньшее.

Однако это - существенно не то, чему учат первоклассника с их уменьшаемым и вычитаемым.

Давайте будем элементарно последовательны. Раз уж уменьшаемое - значит, что-то требуется уменьшить. Но после того как что-то уменьшили - единственный здравый вопрос, который можно поставить, это сколько осталось после уменьшения? И, следовательно, если первое число называется уменьшаемым, результат данной операции по уменьшению следует назвать - в согласии со здравым смыслом - остатком. Но в арифметической модели мира для младшеклассника слово остаток употребляется совершенно в другом месте - когда остается что-то лишнее при делении на равные части. И тогда дошлые методисты начального обучения совершают изящный филологический кульбит: дети, вы уменьшаете, но результатом этого вашего уменьшения оказывается... разность. Ну, и так далее.

И этим бредом три года отравляют сознание детей, чтобы в пятом классе обрушить на него нечто, прямо противоположное всему предыдущему!

А ведь говорить о математической операции вычитания немногим менее странно, чем говорить, скажем, об операции… отнимания. Понятно, что формулировка "отнять пять от десяти" в младшешкольной программе не прижилась: она звучит как своеобразный факт математического экспроприаторства, и слишком явно заимствована из сферы не математической, а, так сказать, социально-психологической: "мама! он опять у меня игрушку отнял!" "Ну-ка, сосчитай, доченька! Было у тебя пять игрушек, одну мальчик у тебя отнял, сколько осталось?..."

Однако по сути своей операция вычитания, как она принята в младших классах, это и есть не что иное, как все та же операция отнимания. "Было десять морковок, пять морковок убрали, сколько морковок осталось?" Именно так трактуется вычитание в первом классе, и это нацеливает сознание ребенка на то, что суть операции вычитания - это поиск остатка. Ни один ребенок, решая задачи на вычитание, не ищет никакую разность, а отвечает внутри себя совсем на другой вопрос: сколько останется, если значение первого числа уменьшить на значение второго числа. А если учителю почему-то нужно назвать получающийся остаток разностью, - что ж, наш первоклассник с легкостью назовет это разностью, однако на уровне внутреннего, неявного образа будет все же именовать получившийся результат остатком. Спросите ребенка-первоклассника: так что же такое разность в твоих примерах на вычитание? И он с уверенностью ответит: "ну как что? То, что остается после вычитания!"

А теперь представьте, пройдет немного времени, и ребенку придется "делить с остатком". И главное, что в итоге останется у ребенка в голове - это представление о совершенно удручающей путанице в вопросе, что есть что в математике.

Где же выход? Думается, что выход в самой математике. Но не в той выморочной псевдоматематике, которую сочинили методисты специально для младшеклассников, а в математике взрослой. Той математике, в которой знак «минус» означает никакое не вычитание, а отрицание. Той математике, в которой наряду с числами положительными абсолютно равноправно существуют числа отрицательные. Той математике, в которой ни один здравомыслящий человек не прочитает выражение 4-х=6 как "пример на вычитание": мол, мы из четырех вычли икс и у нас получилось шесть... Той математике, в которой не существует операции вычитания, а существует операция сложения с отрицательными числами.

Понятен недоуменный вопрос, который тут же возникает: а как же донести до сознания семилеточки-первоклассника идею отрицательного числа? Реально ли это, когда даже в пятом классе работа с абстракцией отрицательного числа вызывает у детей огромные затруднения?

В том-то и состоит суть дела, что, если сознание ученика еще не затуманено преподаванием традиционной арифметики с ее «вычитанием", сформировать абстракцию отрицательного числа у ребенка 7-8 лет оказывается вполне возможным. В нашем эксперименте создан целый цикл упражнений, позволяющих успешно решить эту задачу по формированию у ребенка абстракции отрицательного числа, а, следовательно, и абстракции модуля числа. В этом случае дети не просто научаются решать задачи на сложение с отрицательными числами, но и демонстрируют высокий уровень понимания самой сути отрицательного числа. И тогда то, что традиционно именуется операцией вычитания, оказывается для них всего лишь частным случаем сложнейшей операции сложения. И выражение типа 4-2=2 они с легкостью расшифровывают как задачу на сложение числа 4 с числом -2. Разработаны и проверочные эксперименты, которые доказывают, что дети на самом деле понимают суть и логику происходящего при этом процесса.

В главе представлена целая система задач, которая позволяет сформировать у младшего школьника глубинное понимание операции сложения с отрицательными числами, и, следовательно, способна подготовить его к вхождению в мир "большой математики".