3.1.3Алгоритмы перевода целых чисел из одной сс в другую

3.1.3.1Схема Горнера

Часто приходится решать задачи замены целых чисел одной СС на равные им числа другой СС. Существует несколько универсальных способов решения этой задачи. Рассмотрим один из них.

Заменить число на равное ему число в системе с основанием – это значит найти значение многочлена в - ичной арифметике.

Вычислять многочлен будем по так называемой схеме Горнера. Для этого представим многочлен в виде

(3.2)

Алгоритм.

1. Составляем таблицу из двух строк и столбцов, в верхних клетках которой вписываем все коэффициенты данного многочлен (данного числа) в - ичной арифметике.

2. Слева от таблицы записываем старое основание в новой СС.

3. В первую нижнюю клетку записываем число из первой верхней клетки.

4. Чтобы заполнить остальные нижние клетки таблицы, необходимо сначала вычислить значение выражения и записать его во вторую нижнюю клетку. Затем полученную сумму умножить на прибавить и записать в третью клетку и т. д. Тогда в крайней внизу клетке будет записано числовое значение многочлена (3.2) в - ичной арифметике.

Пример

Перевести число в СС с основанием 5

После чего можем записать .

Рассмотренный выше алгоритм применим к числам, представленным в СС с любым основанием.

3.1.3.2Метод выделения целых и дробных частей

Рассмотрим перевод чисел из - ичной СС в - ичную. Пусть – запись целого числа в - ичной системе. Предположим, что в - ичной системе это число будет иметь вид .

Алгоритм.

1. Перевод осуществляется по формулам:

.

2. Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не будет получено .

Очевидно, что деление чисел на выполняется в - ичной системе, а остатки от такого деления выписываются в - ичной.

3.1.4Дроби и смешанные числа в позиционных сс

В позиционных СС рассматриваются обыкновенные и систематические дроби.

Для того, чтобы образовать обыкновенную - ичную дробь, нужно в числителе и знаменателе записать числа СС с основанием .

В дальнейшем будут изучаться только систематические дроби.

Если основание СС , то любую систематическую дробь можно представить в виде:

, (3.3)

где .

Выражение (3.3) называется формулой систематической дроби в СС с основанием .

Систематическую дробь можно получить из обыкновенной - ичной дроби, если числитель ее разделить нга знаменатель по правилам - ичной арияметики.

Деление на число, выраженное единицей с нулями, производится также, как и в десятичной арифметике.

Если , то левая часть называется правильной систематической дробью, а правая – правильной обыкновенной дробью в системе с основанием .

Любое число в СС с основанием можно представить в виде:

, (3.4)

где .

Выражение (3.4) называется формулой смешанного числа в СС с основанием .

Арифметические действия над систематическими дробями в СС с основанием производится по правилам, аналогичным правилам действий с десятичными дробями.