3Кодирование информации.
3.1Системы счисления
3.1.1Позиционные системы счисления
Системой счисления (СС) называется способ наименования и записи чисел с помощью знаков (цифр).
Наибольшее распространение на практике получила десятичная система СС. Используется также и римская СС. В ВТ широкое распространение получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная СС.
Рис. 3.1.
В позиционных СС значение любой цифры числа определяется не только самой цифрой, но и позицией – местом, которое эта цифра занимает в числе. Пример – десятичная СС.
Номер позиции, считая справа налево, определяющий значение цифры, называется разрядом числа.
В непозиционных СС значение цифры не зависит от ее позиции. Пример – римская СС.
Отношение значений соседних разрядов называется основанием СС.
Чтобы различать в какой СС записано число в дальнейшем будем указывать индексом (внизу справа) основание СС.
Условимся произносить наименование числа, называя подряд его цифры и основание СС (за исключением десятичной).
Понятно, что в позиционной СС для записи любого числа может быть использовано только строго определенное количество введенных цифр.
Если
,
то мы условимся использовать уже
известные нам первые
цифр, применямые в десятичной СС:
.
Если
,
то в качестве цифр будем использовать
все без исключения цифры десятичной СС
и необходимое количество новых цифр,
обозначаемых буквами.
В СС с основанием любое целое число может быть представлено в виде:
(3.1)
где
.
Выражение (3.1) называется формулой целого числа в СС с основанием , в которой левая часть – цифровая форма числа, правая – многочленная.
3.1.2Арифметика целых чисел в позиционных сс
Если основание СС , то мы будем говорить -ичная арифметика.
Сложение и умножение многоразрядных чисел в позиционных СС осуществляется по правилам сложения и умножения многоразрядных десятичных чисел с обязательным учетом таблиц сложения и умножения цифр в данной системе. При этом остаются в силе и основные законы сложения и умножения чисел: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный.
3.1.2.1Двоичная арифметика
Таблицы сложения и умножения
-
+
0
1
х
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
10
1
0
1
Примеры
3.1.2.2Четвертичная арифметика
Таблицы сложения и умножения
-
+
0
1
2
3
х
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
10
1
0
1
2
3
2
2
3
10
11
2
0
2
10
12
3
3
10
11
12
3
0
3
12
21
Примеры