3.2Рассмотрим влияние рефлексивности на деятельность финансовой пирамиды.

Предположим, что за счет рекламной компании и начальной дивидентной политики количество вкладчиков растет, тогда финансовая пирамида имеет возможность повышать дивиденды, это в свою очередь привлекает еще большее количество вкладчиков и, следовательно, большее количество денег и так далее.

Разберем механизм работы такой финансовой пирамиды, предполагая, что число вкладчиков растет со скоростью геометричекой прогресии.

Найдем количество денег, которое собирает финансовая пирамида, предполагая, что в конце каждого месяца выплачиваются 100% дивидендов.

Пусть  > 1 коэффициент увеличения количество вкладчиков, тогда:

1й месяц: S(1) = m;

2й месяц: S(2) = m + m – m;

3й месяц: S(3) = m + m + ²m – m – (1 + )m;

…

iй месяц: S(i) = m(1 +  + ² + … + ^{(i – 1)}) – m – (1 + )m –

– (1 +  + ²)m – … – (1 +  + ² + … + ^{(i – 2)})m;

Но: 1 +  + … + ^{(i – 1)} = (ⁱ – 1) / ( – 1).

Или,

S(i) = [(ⁱ – 1) / ( – 1)]m – m – (1 + )m –

– [(³ – 1) / ( – 1)]m – … – [(^{i – 1} – 1) / ( – 1)]m =

= [(ⁱ – 1) / ( – 1)]m – m – ^m/_{(i – 1)} (1 + ² – 1 + ³ – … + ^{i – 1}) =

= [(ⁱ – 1) / ( – 1)]m – m – ^m/_{(i – 1)} (– i + ² + ³ – … + ^{i – 1}) =

= [(ⁱ – 1) / ( – 1)]m – m – ^m/_{(i – 1)} (– i + [(ⁱ – 1) / ( – 1)]) =

= [(ⁱ – 1) / ( – 1)]m – m – ^mi/_{(i – 1)} – m[(ⁱ – 1) / ( – 1)²] .

Итак,

S(i) = [^{( – 1  – 1)}/_{( – 1)}² ]ⁱ m + ^mi/_{(i – 1)} – [^{( –  – 1)}/_{( – 1)}]m.

Найдем максимум этой функции:

S^’(i) = [^{( –  – 1)}/_{( – 1)}² ]ⁱ ln(m);

S^’’(i) = [^{( –  – 1)}/_{( – 1)}² ]ⁱ ln²(m) < 0;

Здесь использовано предположение

 = 1 +  – < 0 ;

Т.к. – =  –  – 1 < 0 эквивалентно S^’’(i) < 0, т.е.  < 0.

Если  < 0, то есть число клиентов в процентном отношении растет быстрее, чем процент выплачиваемых дивидендов, то тогда S(i)   при i  , и финансовая пирамида теоретически может работать бесконечно долго и собрать бесконечно много денег. На практике это не реализуемо, поскольку временной интервал, когда число вкладчиков растет в геометрической прогрессии не может быть бесконечным из-за конкуренции со стороны других финансовых пирамид, финансовых компаний, из-за насыщения рынка финансовых услуг и так далее.

Поэтому более реальным является предположение, что  > 0, тогда 2я производная отрицательна, следовательно, существует некоторый срок деятельности финансовой пирамиды, когда она собирает максимальную сумму денег.

Найдем этот срок.

S^’(i) = [^-/_{( – 1)}² ]ⁱ ln = ^/_{( – 1)};

ⁱ = ln[^{( – 1)}/_{  ln}] ;

iln = ln[^{(i – 1)}/_{ ln}] ;

i_max = ¹/_ln ln[^{(i – 1)}/_{ ln}] .

Задача.

Найти оптимальный срок деятельности финансовой пирамиды в зависимости от  и .

Решение:

Составим таблицу:

		imax
1,05	0,25	5 мес
1,1	0,25	6 мес
1,2	0,25	9 мес
1,24	0,25	15 мес
1,01	0,05	23 мес

Вывод_1: чем больше скорость с которой растет число вкладчиков(), тем дольше может работать финансовая пирамида.

Вывод_2: чем ниже процентная ставка, тем дольше может работать финансовая пирамида.