§4. Рассмотрим влияние рекламы

Неотъемлемая часть деятельности финансовых пирамид - активная рекламная кампания, на которую тратятся значительные средства.

В связи с этим моделирование рекламной кампании должно быть составной частью математической модели финансовой пирамиды.

Это тем более верно, так как от эффективной рекламной кампании зависит количество новых клиентов, а значит и поступление новых средств, из которых выплачиваются проценты и производятся другие расходы.

Ясно, что вначале расходы на рекламу будут превышать поступление средств, поскольку сначала лишь небольшая часть потенциальных клиентов знает о существовании финансовой пирамиды.

С увеличением числа клиентов, поступление новых средств должно уже значительно превышать расходы на рекламу.

Однако, со временем, может наступить момент, когда реклама становится неэффективной из-за конкуренции со стороны других финансовых компаний, из-за насыщения рынка финансовых услуг и так далее.

При моделировании рекламной кампании финансовые пирамиды будем основываться на следующих предположениях:

1. Скорость изменения со временем числа клиентов

пропорционально числу потенциальных клиентов не знающих о существовании финансовой пирамиды.

Обозначим через N (t) – общее число клиентов финансовой пирамиды в текущий момент времени t, N₀ – общее число потенциальных клиентов, (t) – интенсивность рекламной кампании, которую в первом приближении можно считать пропорциональной расходам на рекламу.

2. Общеизвестно, что значительная часть новых клиентов финансовой пирамиды приходит под воздействием информации и слухов, передаваемых в основном старыми клиентами, которые выступают как бы дополнительными рекламными агентами финансовой пирамиды.

Будем предполагать, что их вклад в увеличение скорости появления новых клиентов равен величине: ₂ (t)  N(t)  (N₀ – N (t)), где функция ₂(t) характеризует степень общения клиентов между собой.

Суммируя 1) и 2) получаем уравнение:

dN / dt = [₁(t) + ₂(t)  N]  (N₀ – N) (1)

К этому уравнению добавляем начальное условие

N(0) = N₀ > 0 (2)

И для нахождения текущего числа клиентов финансовой пирамиды получаем задачу Коши (1), ( 2).

4.1. Рассчитаем сумму s(t), собираемую финансовой пирамидой. Предположим, что:

1. имеется один тип вклада с фиксированной суммой m₀;

2. на каждый вклад через месяц начисляется  % годовых.

Тогда:

_, (3)

где k₀ - коэффициент пропорциональности расходов на рекламу, причем - сумма всех расходов на рекламу; - денежные поступления от новых клиентов, - - платежи по процентам "старым" клиентам.

Формулы (1) –(3) определяют математическую модель деятельности финансовой пирамиды.

В работе для частных случаев роста количества клиентов по линейному и экспоненциальному законам и по геометрической прогрессии рассчитаны максимальные суммы, собираемые финансовой пирамидой и соответствующие времена, время разорения и ряд других экономических характеристик. Показано, что основными внешними признаками финансовой пирамиды являются агрессивная рекламная деятельность, основанная на предложении высоких процентных ставок и быстрый рост числа клиентов.

В общем случае предложен алгоритм численного решения. Предполагается изучения асимптотического поведения деятельности финансовой пирамиды в начальный период и около времени разорения.