Малая выборка
Под
малой
выборкой
понимается такое выборочное наблюдение,
численность единиц которого не превышает
20 (при n
, ошибка выборки уменьшается).
В математической статистике доказывается, что и при малой выборке можно характеристики выборочной совокупности распространить на генеральную.
Средняя ошибка малой выборки исчисляется по формуле:
где
- дисперсия в малой выборке:
Предельная ошибка малой выборки имеет вид:
Но здесь величина t не так связана с вероятностной оценкой, как при нормальной выборке.
Английский ученый Стьюдент доказал, что при малой выборке действует особый закон распределения величины t .
Согласно распределению Стьюдента вероятностная оценка того, что предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку в малых выборках, зависит и от величины t , и от численности выборки.
При нормальной выборке |
При малой выборке (n = 1) |
||
t = 1 t = 2 t = 3 |
p = 0,683 p = 0,954 p = 0,997 |
t = 1 t = 2 t = 3 |
p = 0,670 p = 0,940 p = 0,992 |
При n
20 распределение малой выборки стремится
к нормальному.
Пример. Произведено выборочное наблюдение для установления процента изделий высшего сорта в партии однородной продукции. При механическом способе отбора из партии в 10 000 единиц готовых изделий было обследовано 400 единиц, из которых 320 изделий отнесено к высшему сорту.
Определите с вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии.
Решение:
Дано:
n = 400;
m = 320 (изделий высшего сорта);
p = 0,997; t = 3.
1). Доля изделий высшего сорта:
2). Предельная ошибка доли составляет:
3). Распишем пределы генеральной доли:
Cледовательно,
с вероятностью 0,997 можно утверждать,
что доля изделий высшего сорта составляет
0,8
0,06,
т.е. от 74% до 86%.
Проверка типичности выборочных данных
Существует два способа распространения данных выборочных наблюдений: способ прямого пересчета и способ коэффициентов.
Способ прямого пересчета применимо в том случае, когда на основе выборки рассчитывают объемные показатели генеральной совокупности, используя для этого выборочные средние или выборочные доли.
Например: если по данным выборочного обследования бюджетов колхозников средняя урожайность картофеля с 1га была равна 208ц, а по данным сплошного учета посевных площадей площадь, занятая картофелем в хозяйствах колхозников, составила в данной области 256га, то можно установить, что в этой области в личных подсобных хозяйствах колхозников было произведено картофеля 53 248 ц. (208 х 256).
Способ коэффициентов. Способ коэффициентов обычно применяют при проведении выборочного наблюдения для проверки и уточнения данных сплошного обследования. В этом случае, сопоставляя данные выборочного наблюдения со сплошными, исчисляют поправочный коэффициент, которым и пользуются для внесения поправок в материалы сплошных наблюдений.
Например: при проведении учета скота, когда для установления % недоучета скота, находящегося в личной собственности населения, используются данные 10%-ного выборочного обследования, проводимого после сплошного учета скота. Предположим, что в хозяйствах населения при проведении сплошного учета скота во всех населенных пунктах данного района было зарегистрировано 5000 свиней, в том числе в тех населенных пунктах, в которых затем проводились 10%-ные выборочные контрольные обходы, было учтено 400 свиней. Допустим далее, что в этих населенных пунктах при проведении контрольных обходов было обнаружено наличие 404 свиней. Определим поправочный коэффициент на недоучет свиней при сплошном учете скота. Он равен:
Затем находим количество недоучтенного оголовья свиней во всех хозяйствах данного района. Для этого распространяем результаты выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность: 5000 х 0,01 = 50 голов. Таким образом, общая численность свиней в хозяйствах населения данного района с поправкой на недоучет составит: 5000 + 50 = 5050 голов.