3. Система линейных алгебраических уравнений (слау). Метод Гаусса. Пример.

Система м линейных уравнений с н переменными имеет вид:

а11х1+ а12х2+ …+а1jхj+..+a1nxn=b1

а21х1+ а22х2+…+ а2jхj+..+a2nxn=b2

аi1х1+ аi2х2+…+ аijхj+..+ainxn=bi

аm1х1+ аm2х2+…+ аmjхj+..+amnxn=bm

где аij, bi (i=1,n j=1,m) - произвольные числа при переменных, называемые коэффициентами при переменных и свободныи членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать:

n

∑aijxj =bi

j=1

Решение такой системы – это набор чисел, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение превращается в тождество. Совместной СЛАУ называется такая система, которая имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.

Метод Гаусса.

Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Ход решения

1. умножая 1-ое уравнение на подходящие числа и прбавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему ,… m-му уравнению системы, исключим переменную х₁ из всех последующих уравнений, начиная со второго.

Предположим что а₂₂ <>0 умножая второе уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,…, m-му уравнению системы, исключим переменную х₂ из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

4. Матрицы.

Матрицей размера м*н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов. Числа составляющие матрицу называются ее элементами.

Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строк, а из одного столбца – матрицей –столбцом

Матрица называется квадратной, если число ее строк = числу ее столбцов. Элементы матрицы, у которых номера столбца = номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиоганальные элементы квадратной матрицы =0, то матрица назыв диагональной. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы = 1, то матрица назыв единичной матрицей. Матрица любого порядка назыв нулевой, если все ее эл-ты = 0

Операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число. Все эл-ты матрицы умножаем на это число. Произведением матрицы А на число № назыв матрица В=№А.

2. Сложение матриц. Сумма 2х матриц одинакового размера назыв матрица С=А+В, эл-ты которой cij=aij+bij

3. Вычитание. А-В=А+(-1)*В

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов 1ой матрицы =числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В назыв такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5. Транспонирование. Переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

6. Возведение в степень. Целой положительной степенью А в степени м (м>1)квадратной матрицы А называется произведение м матриц, равных А.

В матрице А размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m;n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.