Вопрос 40: Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Абсолютная и относительная погрешность числа.

Производная сложной функции:

Теорема: Пусть у – сложная функция от Х, т.е. у = f( (х)) = f(u), u = (х).

u = (х) – промежуточная переменная

х – независимая переменная.

Опр: Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной.

Если (х) дифференцируемая функция в точке х, а f(u) – в точке u, то сложная функция так же дифференцируема и ее производная находится по формуле У’х = ·

Теорема об инвариантности полного дифференциала (инвариантность формы полного дифференциала).

Форма дифференциала не изменится, если x и y будут функциями новых переменных U и V:

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное в первом параграфе приближенное равенство

  позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

а

то

или

Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений. Если x ≈ a и абсолютная погрешность этого этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то числа a называют приближенным значением x с точностью до h. Точность приближенного значения зависит от многих причин. В частности, если приближенное значение получено в процессе измерения, то точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение.

Определение: относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Вопрос 44.Экстремум функции. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции, т.е. x₂>x₁ выполняется неравенство f(x₂)>f(x₁)

Функция y=f(x) называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции, т.е. x₂>x₁ выполняется неравенство f(x₂)<f(x₁)

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Вопрос 45. Необходимое условие экстремума, критические точки. Достаточные признаки существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Необходимый признак экстремума: Если функция y=f(x) имеет в точке x=x₀ экстремум, то либо f’(x)=0, либо f’(x₀)=0 не существует.

Точки, в которых f(x) непрерывна, а f’(x)=0 или f’(x) не существует, наз. критическими.

Достаточные признаки экстремума:

1) Если x₀ - критическая точка функции f(x) и в некоторой окрестности этой точки, слева и справа от нее, производная имеет противоположные знаки, то f(x₀) является экстремумом, причем:

а) максимумом, если f’(x)>0 при x<x₀ и f’(x) <0 при x>x₀

_{б) минимумом, если} f’(x)<0 при x<x₀ и f’(x) >0 при x>x₀

_{2) Если функция f(x) дважды дифференцируема и в точке} x_{0 выполняется условие f’(x)=0,}

_f” (x₀)≠0, то в этой точке функция имеет экстремум, причем максимум, если _f” (x₀)<0, и минимум, если _f” (x₀)>0