Вопрос 66. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (11)

Вопрос 67. Вычисление объема тела.

-Объем тела.

- объем тела вращения

Вопрос 69.Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости.

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности {a_n}

S1 = a1, S2= a1 + a2, …, S_n = = a1 + a2 + a3 + … + a_n, …

Значения S_n называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность {S_n} последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда a_n – общий член ряда.

1)Если все члены ряда числа, то ряд называется числовым.

2_Ряд называется сходящимся если последовательность его частичных сумм при n→∞ имеет конечный предел

3)Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся, такой ряд суммы не имеет предела.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд u₁+u₂+...u_n+.... сходится, то предел его общего члена при n→∞ равен нулю, т.е.

Вопрос 70. Достаточные признаки сходимости рядов.

Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда

u₁+u₂+...u_n+....(1) и v₁+v₂+...v_n+....(2)

Причем все члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2), т.е ui≤vi, i=1,2,3,....,n,....Тогда из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда(2), а из расходимости ряда (1) - расходимость ряда(2)

Второй признак сравнения: Если существует конечный и отличный от нуля =a

, то ряды (1) и (2) одновременно сходятся и одновременно расходятся.

Признак Даламбера: Пусть для ряда (1) существует Тогда:

а) Если D<1, то ряд сходится. б)Если D>1, то ряд расходится. в)D=1 требуется доп. исследование

Признак Коши: Если для ряда (1) существует тогда

а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При    требуется доп. исследование

Вопрос 71. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.

Знакопеременные ряды -это ряды для которых знаки у членов ряда меняются произвольным образом.

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.