Четные и нечетные функции

  Функция у = f (х) называется четной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции совпадают

f (− х) = f (х) х D (f).

  График четной функции симметричен относительно оси Oy так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (- x, y).   Функция у = f (х) называется нечетной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции противоположны.

f (− х) = − f (х) х D (f).

  График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (− х; − у).   Говорить о четности либо нечетности можно говорить лишь для тех функций, области определения которых симметричны относительно начала координат.

Монотонные функции

  Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции

x₂ > x₁→ f (x₂) > f (x₁) х₁, x₂ [a, b].

  Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции

x₂ > x₁→ f (x₂) < f (x₁) х₁, x₂ [a, b].

  Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями. Участки возрастания функции на рисунке отмечены синим цветом (в чёрно белом варианте более толстым форматом). Участки убывания отмечены красным цветом (в чёрно белом варианте более тонким форматом).

Вопрос 15: Основные элементарные функции – линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции функции и их свойства.

  Линейная функция Линейная функция — функция вида y = kx + b(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от  — неоднородных линейных функций.   Степенная функция определяется соотношением y = xⁿ, n ≠ 0 . При натуральных значениях n эта функция определена на всей числовой прямой, т. е. х R. При четном показателе степени степенная функция является четной и y принимает положительные значения. Ее графиками служат параболы соответственно второго, четвертого и т.д. порядков.    При нечетном показателе функция является нечетной и принимает значения y (− ∞, + ∞) . Ее графиками служат параболы третьего, пятого и т. д. порядков.    П о к а з а т е л ь н а я функция y = a^x, (a ≠ 1, a > 0). Область ее определения x (- ∞, + ∞), множество значений y ( 0, + ∞). Если a > 1, то функция монотонно возрастает, а если 0 < a < 1 - монотонно убывает. При этом для любого основания выполняется равенство a⁰ = 1. Следовательно, график любой показательной функции проходит через точку (0; 1).    Л о г а р и ф м и ч е с к а я функция. Эта функция является обратной по отношению к показательной. График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у = х. При этом для любого основания а > 0 и а ≠ 1 выполняется условие log_a1 = 0, поэтому график всякой логарифмической функции проходит через точку (1; 0).    Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Функции y = sin х и у = cos х определены на всей числовой прямой и имеют множеством значений промежуток [− 1, 1],  Функция у = tg х определена при всех значениях , монотонно возрастает в каждом интервале области определения.    Функция у = ctg х определена при всех значениях x ≠ π n, n N, и монотонно убывает в каждом интервале области определения.    Множеством значений тангенса и котангенса служит промежуток (− ∞; + ∞).   Функции у = sin х, у = tg х и у = ctg х − нечетные, их графики симметричны относительно начала координат. Функция у = cos x - четная, ее график симметричен относительно оси Оу.   Тригонометрические функции являются периодическими.    Определение. Функция f (х) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для любых значений аргумента из области определения функции имеет место равенство f (x ± T) = f (x).   Основной период функций у = sin х и у = cos x равен 2·p, основной период функций у = tg x и y = ctg x равен p.   Обратные тригонометрические функции. Функция y = arcsin x , где х [− 1; + 1], y [− p/ 2, p/2 ], означает, что у есть угол из промежутка [− p/ 2, p/2 ], синус которого равен х, то есть х = sin у.    Функция y = arcsin x является обратной для функции y = sin x, x [− p/ 2, p/ 2 ], у [− 1; + 1], рис. 5.9.   Функция у = arcсos х, x [− 1, 1], y [0, p] обратная функции у = сos х, где х [0, p] и y [− 1, 1]. Её график симметричен графику у = сos х относительно прямой у = х, рис. 5.10.    Функция у = arctg x, где x (− ∞; + ∞) и y (− p/ 2, p/ 2 ), является обратной функции y = tg x, y (− ∞; + ∞) и . Ее график симметричен графику функции y = tg x, x (− p/ 2, p/ 2 ), относительно прямой у=х  Функция у = arcctg x, x (− ∞; + ∞), y (0; p) обратная функции у = ctg x, x (0; p), у (− ∞; + ∞). Ее график симметричен графику у = ctg x, x (0; p), относительно прямой у = х.