- •1 Вопрос: Множество и его элементы. Подмножества. Основные операции над множествами. Действительные числа и числовая ось. Абсолютная величина действительного числа и ее свойства.
- •Числовая ось
- •Вопрос 2: Метод координат. Направленные отрезки и их величины. Основное тождество. Координаты на прямой. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •Вопрос 3: Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости – расстояние между двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении.
- •Вопрос4: Полярные координаты. Связь между прямоугольными и полярными координатами.
- •Вопрос 5: Преобразования прямоугольных координат – параллельный сдвиг осей, поворот осей координат.
- •Неполные уравнения плоскости
- •Вопрос 7: Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Вопрос 8: Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки; уравнение прямой в «отрезках».
- •Вопрос 9: Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •Вопрос 10: Эллипс, его свойства и график. Эксцентриситет эллипса.
- •Вопрос 11: Гипербола, её свойства и график. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы.
- •Вопрос 12: Парабола. Её свойства и график.
- •Вопрос 13: Общее уравнение линии второго порядка и его приведение к простейшему виду. Классификация линий второго порядка.
- •Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду
- •Классификация линий второго порядка
- •Вопрос 14: Постоянные переменные величины. Определение функции. Способы задания функций. Четные и нечетные, периодические, монотонные функции.
- •Четные и нечетные функции
- •Монотонные функции
- •Вопрос 15: Основные элементарные функции – линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции функции и их свойства.
- •Вопрос 16: Понятие неявной функции. Сложная и обратная функции. Понятие неявной функции
- •Сложная функция
- •Понятие обратной функции
- •Вопрос 19.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Вопрос 20: Сходимость числовых последовательностей. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенства.
- •Сходящиеся последовательности
- •Предельный переход в неравенствах
- •Вопрос 22: Предел функции. Определение предела функции в точке. Предел функции при х→∞. Односторонние пределы.
- •Вопрос 23: Основные теоремы о пределах: единственность предела функции, пределы функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X), c·f(X).
- •Вопрос 24: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Аривметические операции над бесконечно малыми функциями.
- •Вопрос 25: Два замечательных предела.
- •Вопрос 26:Приращение аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке.
- •Вопрос 28: Свойства функций непрерывных в точке. Непрерывность функций f(X) g(X), f(X)·g(X), f(X)/g(X).
- •Вопрос 29: Теорема о непрерывности сложной и обратной функций.
- •Непрерывность сложной функции
- •Вопрос 30: Точки разрыва функции и их классификация.
- •Вопрос 31: Производная. Задача о наклоне касательной к кривой. Задача о производительности труда. Общее определение производной. Геометрический и экономический смысл производной.
- •Вопрос32. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 33: Производные тригонометрических функций
- •Вопрос 34: Производные логарифмической, обратной и показательной функций.
- •Вопрос 35:Производные обратных тригонометрических функций.
- •Вопрос 36. Производная сложной функции. Производная неявной функции.
- •Вопрос 37: Логарифмическая производная.
- •Вопрос 39: Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.
- •Вопрос 40: Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Абсолютная и относительная погрешность числа.
- •Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Вопрос 44.Экстремум функции. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
- •Вопрос 45. Необходимое условие экстремума, критические точки. Достаточные признаки существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.
- •Вопрос46. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Асимптоты.
- •Вопрос 47. Общая схема исследования функции и построение её графика.
- •Вопрос 49. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Вопрос51. Метод непосредственного интегрирования.
- •Вопрос 52.Метод замены переменной.
- •Вопрос53.Метод интегрирования по частям.
- •Вопрос54.Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Вопрос 59.Определенный интеграл как предел интегральный суммы. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
- •Вопрос 60.Формула Ньютона-Лейбница .
- •Вопрос 61. Интегрирование заменой переменной.
- •Вопрос 62 Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 63. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Вопрос 64. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Вопрос 65.Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 66. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вопрос 67. Вычисление объема тела.
- •Вопрос 69.Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости.
- •Вопрос 70. Достаточные признаки сходимости рядов.
- •Вопрос 71. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.
Вопрос 19.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства б.М. Последовательностей.
Величина xn называется б.б, если для любого наперед заданного числа M>0 можно указать такое натуральное число N, что для всех номеров n>N выполняется неравенство | xn|>M
а)Переменная величина xn называется б.м., если для всякого наперед заданного положительного числа Е можно узнать такое натуральное число N, что | xn|<E, для всех n>N
б) Если xn имеет предел 0, т.е , то такая величина называется называется б.м.в.
Свойства б.м.в.:
1) 0 - б.м.п.
2)
3)А* =0
4) = б.м.в или конечная величина или const
Вопрос 20: Сходимость числовых последовательностей. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенства.
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.
Хn = f(n), n€N, an = f(n)
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.
Пусть дано U1,U2…Un = fn – бесконечная числовая последовательность, тогда выражение U1 + U2 +…+ Un…+… - называется бесконечным числовым рядом. Каждый элемент Un имеет последующий элемент Un+1/ Это объясняет употребление термина «последовательность».
U1, U2 – члены числового ряда.
Un = f(n) – общий член ряда.
Если все члены ряда числа, то ряд называется числовым. Если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.
Ряд считается законченным, если известен общий член ряда yn, выраженный как функция его номера, т.е. Un = f(n).
Сумма n-первых членов находится по формуле :
Sn = a(1 – q в степени n)/1 – q.
Геометрический ряд сходится к сумме: Sn = a/1 – q; При |q| < 1 и расходится при |q| >=1.
Если ряд U1 + U2 +…+ Un…+… сходится, то предел его общего члена Un при n →∞ равен 0.
Несмотря на то, что необходимый признак сходится, гармонический ряд расходится.
Суммой последовательностей и называют последовательность , где , т.е. .
Разностью этих последовательностей называют последовательность , где , т.е. .
Если и ‑ постоянные, то последовательность , называют линейной комбинацией последовательностей и , т.е
.
Произведением последовательностей и называют последовательность с -м членом , т.е. .
Если , то можно определить частное .
Сумма, разность, произведение и частное последовательностей и называются их алгебраическими композициями.
Сходящиеся последовательности
Говорят, что последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .
Число называют пределом последовательности . При этом записывают или .
Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где – постоянная; – бесконечно малая.
Основные свойства сходящихся последовательностей:
1Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только 1 предел.
2Теорема: Восходящаяся последовательность ограничена.
3Теорема: Сумма(разность) 2-х сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся и ее предел равен сумме(разности) пределов последовательности.
4Теорема: Произведение сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен произведению пределов последовательностей.
5Теорема: Отношение.
Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.