Вопрос 12: Парабола. Её свойства и график.

Парабола - это геометрическое место точек на плоскости, одинаково удаленных от данной точки фокуса и данной прямой директрисы. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром и обозначается p>0.

Если А = 0 или С = 0, то это парабола.

х² = 2ру

у² = 2рх - конаническое уравнение параболы.

d – директриса

Свойства параболы:

1)Так как у в четной степени, то параболв симметрична относительно оси ОХ.

2)Если у параболы р>0, то ветви направлены вправо, Если р<0, то ветви направлены влево.

3)х = -р/2

4) а)F(р/2;0)

F(0;р/2) ( U )

Замечание: Квадратный трехчлен вида ах² + bх + с = 0 можно привести к конаническому уравнению параболы х² = 2ру с помощью параллельного переноса, выделяя полный квадрат.

Вопрос 13: Общее уравнение линии второго порядка и его приведение к простейшему виду. Классификация линий второго порядка.

Ах² + 2Вх + Су² + 2Вх + 2Еу +F = 0 – общее уравнение линии второго порядка, где, коэффициенты A, B, C, D, E, F – любые не равные нулю одновременно числа и, кроме того, то есть А² + В² + С² ≠ 0.

К кривым линиям второго порядка относятся: окружность, гипербола, парабола, эллипс.

Составим из коэффициентов выражение: δ = А·В - В² (δ – дельта).

Если δне равна 0, то будет центральная кривая.

Если δ = 0, то будет не центральная кривая.

Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду

 Пусть в прямоугольной системе координат Оxy задано уравнение (12.1) и пусть А·С – В² ≠ 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (12.1) приводится к виду

A'·x''² + C'·y''² + F' = 0,

где А', С', F' — некоторые числа; (х''; y'') – координаты точки в новой системе координат.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямоугольная система координат О'х'y' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оy, причем начало координат перенесено в точку О'(х₀; y₀). Тогда старые координаты (х; у) будут связаны с новыми (х'; у') формулами х = х' + х₀, у = у' + у₀. В новых координатах уравнение (12.1) принимает вид:

A·x'² + 2·B·x'·y' + C·y'² + 2·D'·x' + 2·E'·y' + F' = 0,

где

D' = A·x₀ + B·y₀ + D; E' = B·x₀ + C·y₀ + E; F' = A·x₀² + 2·B·x₀·y₀ + C·y₀² + 2·D·x₀ + 2·E·y₀ + F.

Классификация линий второго порядка

 В зависимости от знака величины А·С – В² линии второго порядка разделяются на следующие три типа

1. эллиптический, А·C – В² > 0.

2. гиперболический,А·C – В² < 0.

3. параболический,А·C – В² = 0.

Вопрос 14: Постоянные переменные величины. Определение функции. Способы задания функций. Четные и нечетные, периодические, монотонные функции.

Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому - либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция. Эта функция записывается в виде

y = f (x) x D или x → f (x) x D

  Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при котором одному элементу из множества D ставится в соответствие только один элемент из множества Е.   Подмножество D или D ( f ) называется областью определения (существования) функции у = f (х), подмножество Е или Е ( f ) множеством ее значений. Переменная х называют независимой переменной или аргументом, переменная y - зависимой переменной, а соответствие такого рода между ними - функциональной зависимостью.   Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений - числовые множества, т. е. D(f) R и E ( f ) R .

Способы задания функции

Аналитическое задание функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.   При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.   Замечание. Областью определения функций f (x) ± g (x), f (x)·g (x); f (x)/g(x) является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель обращается в ноль g (х) = 0.   Замечание. Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана.

Две функции равны только в том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента.   Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых допустимых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.   Графический и табличный способы задания функции. Графиком числовой функции у = f (х) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции, т. е.

Г = {(x; y)| x D , y = f (х)}.

Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график.   3амечание. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в одной точке.

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции.   Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.