Вопрос4: Полярные координаты. Связь между прямоугольными и полярными координатами.

Пусть точка М на плоскости задана так, что (см. Рис.5)

Г де точка 0 – полюс, луч 0А – полярная ось, - полярный радиус, φ – полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси – в нашем случае от направления полярной оси).

Если совместить две системы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало – точку 0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлением оси 0x (см. Рис.6), то будет понятно – как связаны ПДСК и полярная системы координат.

Для большего удобства переходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат

Выражение декартовых координат через полярные	Выражение полярных координат через декартовы

Решение:

Координаты точек заданы в полярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных в ПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.

Из таблицы взаимосвязи полярных и декартовых координат получаем, что для точки

,

или, координаты точки М в ПДСК - .

Аналогично находим и координаты точки N:

,

или, координаты точки N в ПДСК - .

А вот теперь, окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости», получаем, что

Вопрос 5: Преобразования прямоугольных координат – параллельный сдвиг осей, поворот осей координат.

Ах +2Вху+Су+2Вх+2Уу+F=0 – Общее уравнение линий 2 порядка.

Рассмотрим три типа преобразований:

а) параллельный перенос;

б) поворот;

в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).

В каждом случае координаты точки в старой и новой системах координат связаны формулой (2.8). Поэтому достаточно найти вектор переноса начала координат и матрицу перехода от базиса к базису .

а) При параллельном переносе системы координат (рис.2.11,а) базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: . Находим координаты вектора переноса начала координат: . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде

б) При повороте системы координат на угол (рис.2.11,6) начало новой системы координат совпадает с началом старой, поэтому вектор переноса нулевой: . Разлагая новые базисные векторы по старому базису, получаем , . Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов по столбцам: . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде

δ=(2D)/4А + (2Е)/4С - F

в) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат на противоположное) (рис.2.11,в) начало новой системы координат совпадает с началом старой, поэтому вектор переноса нулевой: . Разлагая новые базисные векторы по старому базису, получаем (так как ), или . Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов по столбцам: . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде .

Вопрос 6: Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой, неполное уравнение первой степени.

Уравнением линии (кривой) на плоскости ОХУ называется уравнение, которому удовлетворяют все точки, принадлежащие этой линии, и не удовлетворяют координаты точки, не лежащие на этой линии.

Общее уравнение плоскости

Вообще, любое уравнение вида

A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

определяет плоскость (где А, В и С – координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название «общее уравнение плоскости».