Переваги аналітичного розв’язку

1. Він інформативніший за таблицю чисел. Обчислення розв’язку у будь-якій точці (x,t) здійснюється з наперед заданою точністю шляхом збільшення кількості враховуваних членів ряду. При цьому просто отримується верхня оцінка похибки;

2. Значення розв’язку обчислюється в одній точці (x,t) без обчислення значень у інших точках, що типово при розв’язуванні чисельному різницевими схемами;

3. Розв’язок визначається в будь-якій точці заданого інтервалу, а не тільки в вузлах сітки;

4. Найголовніше, що можна відсліджувати вплив фізичних параметрів, початкових і граничних умов на поведінку розв’язку.

Перевага чисельних розв’язків полягає в тому, що їх можна отримати навіть тоді, коли не можна задачу розв’язати аналітично. Практично всі нелінійні рівняння з частковими похідними необхідно розв’язувати чисельно, а більшість відомих моделей фізики, хімії, біології тощо являються нелінійними за своєю природою. Як правило, лінійні моделі лише наближено апроксимують нелінійні, якщо у відповідних рівняннях нехтувати нелінійними членами.

Приклади нелінійних рівнянь:

1. U_tt=U_xx + f(U) (нелінійне хвильове рівняння);

2. U_t=U_xx + f(U) (рівняння реакції з нелінійною дифузією)

1.3 Типи рівнянь із частковими похідними

Класифікація за шістьма основними ознаками.

1. Порядок рівняння визначається найвищим порядком часткових похідних рівняння. Наприклад,

U_t=U_xx (рівняння другого порядку);

U_t=U_x (рівняння першого порядку);

U_t=U*U_xxx + sin x (рівняння третього порядку).

2. Число змінних задається кількість незалежних змінних. Наприклад,

U_t = U_xx (рівняння з двома змінними x та t)

3. Лінійність рівняння забезпечується тим, що невідома функція й усі її часткові похідні не перемножуються, не зводяться в квадрат, куб, тощо. Наприклад,

u_tt=e^-tu_xx+sin t (лінійне рівняння);

u*u_xx+u_t=0 (нелінійне рівняння);

u_xx+y*u_yy=0 (лінійне рівняння);

x*u_x+y*u_y+u²=0 (нелінійне рівняння).

Лінійним рівнянням із частковими похідними 2-го порядку з двома незалежними змінними називається таке:

Au_xx+Bu_xx+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu=G, (1.1)

де A, B, C, D, E, F, G – константи чи задані функції незалежних змінних x та y.

4. Однорідність рівняння має місце в тому випадку, коли його права частина G(x,y)≡ 0 для всіх х та у. При G(x,y) не ≡ 0, РЧП називається неоднорідним;

5. Види коефіцієнтів. Якщо A B C D E F – коефіцієнти (константи), то (1.1) називається рівнянням з постійними коефіцієнтами, а в противному випадку – рівнянням із змінними коефіцієнтами;

6. Основні типи лінійних РЧП.

   1. Параболічний тип визначається умовою

B²-4AC=0.

Описує процеси тепло- та електропровідності, а також дифузії.

2. Гіперболічний тип відповідає умові:

B²-4AC > 0

Описує коливальні системи та хвильові процеси

3. Еліптичний тип задається умовою:

B²-4AC < 0

описує сталі процеси (t→∞)

Тип РЧП зі змінними коефіцієнтами може варіюватися від точки до точки області визначення. Приклади:

а) u_t=u_xx B²-4AC=0 (параболічне);

б) u_ttu_xx B²-4AC=4 (гіперболічне)

в) u_xy=0 B²-4AC=1 (гіперболічне)

г) u_xx+u_yy=0 B²-4AC=-4 (еліптичне)

іва

д) yu_xxu_yy=0 B²-4AC=-4y