Векторне диференційне рівняння

Оскільки всі теореми чисельні методи розв’язування систем звичайних диференційних рівнянь сформульовані у векторній формі, необхідно пере впорядкувати M*N матрицю у вектор довжини n=M*N. Серед багатьох можливих способів розглянемо 3 найтиповіших.

Після пере впорядкування отримаємо систему з n=M*N рівнянь

де [х₁, …, х_n] – це вектор стану.

Матриці А та В мають багато нульових елементів (рідко заповнені) і володіють стрічковою структурою

Їхніми ненульовими елементами є синаптичні ваги, котрі відповідають певній з трьох схем впорядковування.

При М=N стрічка має ширину:

Стрічка, яка відповідає певній з трьох схем з упорядкування може бути поділена на вдвічі більше діагональних під стрічок, кожна з яких подається рідко заповненою мтарицею.

Примітка: А та В – це дуже великі матриці.

Маємо n = 1 000 000, q = 1 001, omega = 2 003 – це впорядковування за рядками, що складає 0,2 від розмірності матриці n.

03/10/2011…

Перетворимо

В результаті:

1. Рівняння не містить параметрів;

2. Граничні умови набули простішого вигляду;

3. Початкова умова змінилася не суттєво;

4. Задача формулюється компактніше.

Якщо відомий розв’язок U(ksi, tao) без вимірної задачі, то розв’язок початкової задачі знаходиться простим перерахунком за формулою:

Неявна різницева схема (Крамка-Ніклсона)

У цій схемі як і в явній часткові похідні замінюються скінченно-різницевими апроксимаціями, але відшукувань значення U_i+1j вже не подається явно через значення попередніх шарів. Тепер для визначення U_i+1j необхідно розв’язувати систему рівнянь на кожному часовому кроці. Перевага неявних схем перед явними полягає у тому, що крок сітки можна обрати достатньо великим, маючи гарантію, що похибки округлення не зруйнують розв’язок.

Розглянемо неявну схему для одновимірного рівняння електропровідності.

Скінченно-різницеві апроксимації мають вигляд:

Де лямда належить відрізку [0,1].

Відмітимо, що U_xx апроксимується зваженим середнім центральних різницевих похідних у моменти t й t+k. При лямда = 0,5 має місце звичайне середнє таких центральних похідних (випадок Кранка-Ніколсона), а при лямда =0 має місце вивчена схема.

Після заміни часткових похідних в один???? отримаємо різницеву задачу:

Перенесемо всі невідомі значення U_i+1 у ліву частину

Малюнок справа – шаблон для неявної схеми.

При фіксованому і та варіюванні j=2 і т. д. n, співвідношення 3 визначає систему n без 2 рівнянь від n без 2-х невідомих

U_i+1,2; U_i+1,3;…; U_i+1,n-1

котрі являють собою розв’язок задачі у внутрішніх вузлах сітки на часовому поясі t=(i+1)*delta t

Алгоритм розв’язування задачі 1

1. Обираємо значення лямда =0,5. При n=6 сітка містить 6 вузлів вздовж осі х, з яких 4 – внутрішні. У відповідності до рисунку, рухаючись з ліва на право (j=2,3,4,5 і т. д.) по першим двом шарам (і=1) отримуємо 4 рівняння за кількістю внутрішніх вузлів:

Така матриця називається три діагональною.

Щоб розв’язати матрицю (знизу на фото) перетворимо її у таку еквівалентну систему (знизу на фото :)

Розв’язуючи рівняння нової системи послідовно зверху вниз отримаємо:

Застосовуючи такий метод, знаходимо розв’язок:

U₂₂ = 0,6; U₂₃ = 0,8; U₂₄ = 0,8; U₂₅ = 0,6 при t = delta t.

Тепер можна зробити наступний крок у часі, але для цього доведеться розв’язувати нову систему рівнянь. При неявній схемі обсяг обчислень на кожному кроці більший ніж при явній схемі, однак прийнятну точність можна отримати навіть при значно більшому кроці.