Перетворення фіксованих неоднорідних граничних умов до однорідних

Перетворення Фур’є – це множення вектора на матрицю.

1 крок – перетворення фіксованих неоднорідних граничних умов до однорідних. Розглянемо задачу про встановлення напруги в електроізольованому провіднику кінці якого мають постійні напруги U₁ та U₂. Це граничні умови першого роду.

Розглянемо задачу:

При t  нескінченність, розв’язок лінійно змінюється вздовж осі Х від напруги U₁ до U₂ (стаціонарний випадок). а – це початкова напруга u(x,0)=fi(x), б – це стаціонарна напруга u(x,nesc)=U₁+x/L(U₂-U₁), в – перехідна напруга.

У довільний момент часу t напругу можна подати сумою:

Підставляючи такий вираз у початкову задачу отримаємо нову задачу відносно функції U(x,t).

В результаті маємо не тільки однорідне рівняння, а й однорідні граничні умови.

2 крок – перетворення в граничних умов у нульові, які залежать від часу.

Розглянемо типову задачу, щодо встановлення напруги в провіднику, один кінець якого володіє напругою U₁(t), а другий кінець має омічний контакт із середовищем, напруга якого складає U₂(t).

Щоб перетворити такі граничні умови в нульові прийнятна наступна форма розв’язку:

де функції А(t), B(t) задаються таким чином, щоб квазістаціонарна частина (S(x,t)) задовольняла граничним умовам початкової задачі. Тоді функція U(x,t) буде задовольняти однорідним граничним умовам.

Підстановка S(x,t) в граничні умови приводить до таких рівнянь:

Звідки отримуємо:

Таким чином маємо:

Якщо підставити такий вираз для u(x,t) в початкову задачу, отримаємо нову задачу відносно невідомої функції U.

Така задача має однорідні граничні умови, але ускладнилось РЧП, котре стало неоднорідним.

27.09.2011

Граничні умови

Систему з n = M*N звичайних диференційних рівнянь, яка визначає стандартну CNN можна записати у матричній формі:

х – це стан, у – це вихід, z – поріг, U – це вхід

Причому вектор х_іj – це вектор довжини (2r+1)², де r – це радіус сфери впливу, компоненти якого охоплюють всі змінні, котрі належать сфері впливу.

Віртуальною називається комірка C<k,l> при |k-i|<=r; |l-j|<=r, де

…

Кожна віртуальна змінна повинна бути специфікована за допомогою наступних граничних умов.

Постійні граничні умови Діріхле (Dirichlet)

Перший рядок – ліві віртуальні комірки, другий – праві, потім верхні та нижні.

Де альфа і і бета йот – це константи користувача, як правило, тотожні нулю.

При схемній реалізації додаються рядок і стовпець комірок вздовж границі та електричними постійними джерелами підтримуються фіксованими вхід і вихід кожної комірки.

Нульові граничні умови Неймана (другого роду) Neuman

Як правило використовуються у випадку нульових входів для всіх пар і, j. Оскільки будь-який вхід має забезпечувати енергетичний потік з оточення, щоб система була відкритою, CNN з нульовими входами називається автономною і утворює важливий клас широкого застосування при формуванні зображень і генерації авто хвиль (ліві, праві, верхні та нижні – рядки формул).

Періодичні (тороїдальні) граничні умови забезпечують ідентичність однойменних комірок верхнього і нижнього рядків, а також лівого і правого стовпців.