Граничні умови для задач електропровідності

Відмінні фізичні умови експерименту приводять до ГУ різних типів. У задачах електропровідності використовують ГУ трьох основних типів:

1. На границі задана напруга: u=U(t);

2. Відома напруга оточуючого середовища

де – вектор зовнішньої нормалі до границі.

3. Задана нормальна, щодо границі, похідна напруги

Граничні умови І-го роду. Розглянемо у одновимірному провіднику довжини L, на кінцях якого напруга змінюється за законами u=U₁(t) і u=U₂(t).

Граничні умови І-го роду використовуються й у багатовимірних задачах електропровідності. Наприклад, у задачі визначення площинно-часового розподілення напруги в межах плоского диску радіуса R, коли гранична напруга задана в полярних координатах:

u(R,0,t)=cos t * sin 0

Для розв’язку таких задач необхідно знати початкову напругу, котра перестає впливати на розв’язок через малий проміжок часу. Тому результуюча напруга всередині диска буде визначатися лише значеннями напруги на границі.

Граничні умови другого роду (задана напруга оточуючого середовища)

Розглянемо електрично ізольований провідник, кінці якого мають омічний контакт із двома середовищами, причому напруга одного з них U₁(t), а другого U₂(t).

Тепер не можна вважати однаковими граничні напруги провідника й напруги відповідних середовищ, якщо напруга одного з кінців провідника менша, ніж напруга відповідного середовища, струм буде втікати в провідник, причому його сила пропорційна різниці напруг.

(3.1)

де r – величина опору омічного контакта.

Експериментально встановлений закон Фур’є описує електропровідність усього провідника, а не лише його кінців: струм через границю області прямо пропорційний нормальній похідній напруги (в напрямку внутрішньої нормалі). У разі одновимірної області

(3.3)

Рис 3.5 Ілюстрація закона Фур’є

ІЗ (3.1) і (3.3) отримуємо граничні умови:

У разі вищої вимірності мають місце аналогічні граничні умови. Наприклад, границя круглого диску має омічний контакт із оточуючим двовимірним провідним середовищем, напруга котрого складає U(0,t); тоді граничні умови записуються так в полярних координатах:

де ліва частина – нормальна (в додатному напрямку вісі r) похідна напруги u, котра обчислена в точці (R, θ) границі. Такі граничні умови лінійні за u i u_r, але неоднорідні, оскільки в правій частині присутня функція U(θ,t).

Граничні умови 3-го роду (задана нульова нормальна похідна напруги на границі, внаслідок чого, остання електроізольована)

Провідник довжиною L має електроізольовану бічну поверхню й початкову напругу ØV. Верхній кінець провідника x=0 електроізольований, тоді як нижній кінець x=L має омічний контакт із середовищем напруга котрого складає U₂(t)=20 V.

Математична модель такої задачі задається співвідношенням:

У разі двовимірної області ізольованість границі означає, що приймає нульове значення нормальна похідна від напруги на границі. Наприклад, диск електроізольований уздовж границі. Тоді граничну умову можна записати наступним чином:

U_r (R,θ,t)=0 (0≤ θ<2π ; 0<t<∞),

або U(R, θ,t)=f(θ,t)

Перетворення граничних умов

Мета – довести, що таку змішану задачу

(РПЧ) u_t-a²u_xx=f(x,t)

(ПУ) u(x,0)=ϕ(x)

(ГУ)

можна звести до задачі з нульовими граничними умовами:

(РПЧ) U_t-a²U_xx=F(x,t)

(ПУ) U(x,0)=fi(x)

(ГУ)

Остання задача може бути розв’язана методами:

1. Відділення змінних, якщо вона виявилась однорідною, тобто F(x,t)=0;

2. Інтегральних перетворень F(x,t)≠0;

3. Розкладання за власними функціями, якщо F(x,t)≠0

У разі чисельного розв’язування, нульові граничні умови дозволяють помітно скоротити обсяг обчислень, оскільки операції над нульовими операндами взагалі можна не виконувати, якщо вони мають постійне місце у складі алгоритму.