28. Элементарная теория гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы

Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, одна точка которой остается неподвижной.

Такое движение является сферическим. Положение тела в неподвижной системе координат определяется углами Эйлера ( – угол прецессии; – угол собственного вращения; – угол нутации).

Подвижная система координат связана с телом. В общем случае тело может участвовать в трех вращениях: вокруг оси Z с угловой скоростью прецессии, вокруг оси Z₁ с угловой скоростью собственного вращения и вокруг линии узлов ОК с угловой скоростью нутации.

Астатический гироскоп – уравновешенный гироскоп, неподвижная точка О которого совпадает с центром масс С, в противном случае гироскоп называется тяжелым, например, волчок.

Волчок является гироскопом с тремя степенями свободы при , если – две степени свободы.

Суть элементарной или приближенной теории гироскопа состоит в том, что у быстро вращающегося гироскопа угловая скорость прецессии мала по сравнению с угловой скоростью собственного вращения, а угол нутации остается практически постоянным. Поэтому абсолютная угловая скорость , т.е. вектор направлен по Z₁ (оси собственного вращения).

Тогда кинетический момент быстро вращающегося гироскопа относительно неподвижной точки О равен

И направлен по оси собственного вращения (оси Z₁) в сторону, откуда это вращение видно против часовой стрелки.

Основные свойства гироскопа:

Рассмотрим установившееся вращательное движение астатического гироскопа с угловой скоростью .

Сила тяжести и реакция оси уравновешены и приложены в точке О. Поэтому ,

т.е. вектор остается постоянным по величине и направлению в инерциальной системе отсчета (ось Z₁ не изменяет своего первоначального положения).

Первое свойство гироскопа: ось быстро вращающегося уравновешенного с тремя степенями свободы гироскопа устойчиво сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. Удары или толчки могут вызвать вибрацию оси гироскопа, но не отклонение от первоначального положения.

Второе свойство гироскопа: при действии силы (или пары сил) на ось быстро вращающегося гироскопа она отклонится от первоначального положения и начнет вращаться вокруг оси прецессии (оси Z) в направлении, перпендикулярном этой силе, с постоянной угловой скоростью.

29. Движение тяжелого гироскопа

Волчок веса G вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью , отклонившись от вертикали на угол под действием своего веса. Расстояние от неподвижной точки О до центра масс , момент инерции волчка относительно оси – . На волчок действуют внешние силы: сила тяжести и сила реакции . Главный момент внешних сил . Отсюда угловая скорость прецессии

.

Из полученного выражения следует, что чем быстрее вращается гироскоп вокруг собственной оси, тем меньше его угловая скорость прецессии.

30. Возможные перемещения. Идеальные связи

Возможными или виртуальными перемещениями точек механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускают наложенные на систему связи.

Возможным перемещением механической системы называется совокупность одновременных возможных перемещений точек системы, совместимых со связями.

Приведем несколько примеров возможных перемещений точек некоторых материальных систем.

Из этих примеров следует, что возможным перемещением всего тела, вращающегося вокруг оси, является малый угол поворота δφ. И возможные перемещения точек его можно определить с помощью этого угла. Так, например, ; ; (а и б).

Так как направления возможных перемещений имеют направления скоростей, то перемещения точек звена АВ (в) определяются с помощью мгновенного центра скоростей Р этого звена. А возможное перемещение всего тела при плоскопараллельном движении – есть поворот на малый угол δφ₁ вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей. Этот угол можно определить.

Так как , то δφ₁= = а перемещение ползуна В и точки С . Т.е. перемещения всех точек механизма можно определить через одно возможное перемещение, перемещение звена ОА, через угол δφ.

Аналогично, поворотом на малый угол δφ вокруг мгновенного центра скоростей Р, определяются возможные перемещения точек колеса, которое может катиться без скольжения по неподвижной прямой (г).

Работу сил, приложенных к материальной системе, на возможном перемещении будем называть возможной работой.

Возможная работа силы – бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор возможного перемещения точки ее приложения, т.е.

,

где – приращение радиус-вектора . При этом перемещение точки по траектории равно .

В силу их малости . Тогда .

Если под действием силы тело совершает вращательное движение, то

,

где – момент силы относительно оси вращения; – возможное угловое перемещение тела.

Возможная работа сил, приложенных к точкам механической системы:

,

где – возможная работа k-й силы .

Идеальными называются связи, алгебраическая сумма элементарных работ реакций которых на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю, т.е. .

Идеальными являются связи без трения. В этом случае силы реакций связей и возможные перемещения точек их приложения взаимно перпендикулярны и .