- •1.Законы Ньютона
- •2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.Первая основная задача динамики пункта и ее решение
- •4. Вторая основная задача динамики точки и ее решение
- •5. Виды колебаний материальной точки. Свободные колебания
- •6. Затухающие колебания точки
- •7. Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления среды
- •8. Вынужденные колебания точки при наличии сопротивления среды
- •9. Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова сила инерции
- •10. Некоторые основные понятия динамики системы материальных точек (система материальных точек, связи, силы)
- •11. Масса и центр масс системы материальных точек
- •12. Момент инерции тела. Радиус инерции
- •13. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
- •14. Осевые моменты инерции тел простейшей формы
- •15. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения
- •16. Количество движения механической системы. Импульс силы
- •17. Теоремы об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения
- •18. Момент количества движения материальной точки и механической системы
- •19. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы. Закон сохранения
- •20. Кинетическая интерпретация теоремы моментов (теорема Резаля)
- •21. Две меры механического движения. Кинетическая энергия материальной точки
- •22. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •23. Работа силы. Мощность. Теоремы о работе. Примеры вычисления работы
- •24. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кенига
- •25. Кинетическая энергия твердого тела
- •26. Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •27. Вычисление работы сил, действующих на твердое тело
- •28. Элементарная теория гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы
- •29. Движение тяжелого гироскопа
- •30. Возможные перемещения. Идеальные связи
- •31. Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
- •32. Методика применения принципа возможных перемещений
- •33. Понятие о принципе Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки
- •34. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •35. Приведение сил инерции
- •36. Общее уравнение динамики
- •37. Обобщенные координаты. Обобщенные скорости и число степеней свободы механической системы.
- •38. Обобщенные силы и способы их вычисления
- •39. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах
- •41. Уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода
- •42. Методика применения уравнений Лагранжа второго рода для решения задач
- •43. Понятие о потенциальном (консервативном) силовом поле и потенциальной энергии. Закон сохранения механической энергии
- •44. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем
- •45. Понятие об устойчивости равновесия консервативной системы
- •46. Понятие о малых колебаниях механической системы
15. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения
Теорема о движении центра масс является следствием основных законов Ньютона и формулируется следующим образом:
Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему, т.е.
, (3.18.1)
где М – масса системы; – ускорение центра масс системы; – геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равная главному вектору внешних сил.
Спроектировав векторное уравнение (3.18.1) на оси прямоугольных декартовых координат, получим
, , . (3.18.2)
При решении задач следует иметь в виду, что
, , ,
где – проекции абсолютного ускорения точек системы на оси декартовых координат.
Уравнения (3.18.1) и (3.18.2) описывают поступательное движение твердого тела.
Теорема о движении центра масс позволяет получить важные следствия, которые называются законами сохранения движения центра масс.
1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то цент масс движется равномерно и прямолинейно.
2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось есть величина постоянная.
Пусть . Тогда из уравнения (3.18.2) получим, что , откуда .
В частности, если в начальный момент времени , то в любой последующий момент . В этом случае центр масс системы вдоль оси 0Х перемещаться не будет, т.е. .
16. Количество движения механической системы. Импульс силы
Количество движения материальной точки – векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.
Количеством движения механической системы или главный вектор количества движения – геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек системы. (3.19.1)
Преобразуем уравнение (3.19.1):
,
где – скорость центра масс.
Модуль главного вектора количества движения системы определяется через его проекции на оси декартовых координат
.
Импульс силы – векторная мера действия силы в течение некоторого времени.
Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени , т.е.
.
Импульс силы за конечный промежуток времени равен интегральной сумме соответствующих элементарных импульсов, т.е.
. (3.19.2)
Выражение (3.19.2) в проекциях на оси координат
.
Направляющие косинусы определяются по формулам:
Импульс равнодействующей нескольких сил за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов составляющих сил за этот промежуток времени.
.
17. Теоремы об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения
Теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме можно сформулировать двумя способами:
1. Векторная производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, приложенных к этой системе:
,
т.е. скорость изменения количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил.
2. Дифференциал количества движения механической системы равен элементарному импульсу главного вектора внешних сил этой системы:
.
Теорема об изменении количества движения механической системы в интегральной форме:
Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно импульсу вектора внешних сил за тот же промежуток времени, т.е.
. (3.20.1)
В проекциях на оси декартовых координат векторное равенство (3.20.1) имеет вид:
.
Следствие (закон сохранения количества движения механической системы).
1) Если главный вектор внешних сил равен нулю, то количество движения системы остается постоянным по модулю и направлению, т.е. если , то .
2) Если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось остается постоянной, т.е. если , то .