- •1.Законы Ньютона
- •2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.Первая основная задача динамики пункта и ее решение
- •4. Вторая основная задача динамики точки и ее решение
- •5. Виды колебаний материальной точки. Свободные колебания
- •6. Затухающие колебания точки
- •7. Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления среды
- •8. Вынужденные колебания точки при наличии сопротивления среды
- •9. Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова сила инерции
- •10. Некоторые основные понятия динамики системы материальных точек (система материальных точек, связи, силы)
- •11. Масса и центр масс системы материальных точек
- •12. Момент инерции тела. Радиус инерции
- •13. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
- •14. Осевые моменты инерции тел простейшей формы
- •15. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения
- •16. Количество движения механической системы. Импульс силы
- •17. Теоремы об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения
- •18. Момент количества движения материальной точки и механической системы
- •19. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы. Закон сохранения
- •20. Кинетическая интерпретация теоремы моментов (теорема Резаля)
- •21. Две меры механического движения. Кинетическая энергия материальной точки
- •22. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •23. Работа силы. Мощность. Теоремы о работе. Примеры вычисления работы
- •24. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кенига
- •25. Кинетическая энергия твердого тела
- •26. Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •27. Вычисление работы сил, действующих на твердое тело
- •28. Элементарная теория гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы
- •29. Движение тяжелого гироскопа
- •30. Возможные перемещения. Идеальные связи
- •31. Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
- •32. Методика применения принципа возможных перемещений
- •33. Понятие о принципе Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки
- •34. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •35. Приведение сил инерции
- •36. Общее уравнение динамики
- •37. Обобщенные координаты. Обобщенные скорости и число степеней свободы механической системы.
- •38. Обобщенные силы и способы их вычисления
- •39. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах
- •41. Уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода
- •42. Методика применения уравнений Лагранжа второго рода для решения задач
- •43. Понятие о потенциальном (консервативном) силовом поле и потенциальной энергии. Закон сохранения механической энергии
- •44. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем
- •45. Понятие об устойчивости равновесия консервативной системы
- •46. Понятие о малых колебаниях механической системы
44. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем
Для консервативной системы обобщенные силы определяются через потенциальную энергию П системы по формуле
, .
Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде
, . (3.47.1)
Т.к. потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т.е. , то . С учетом этого представим выражение (3.47.1) в виде
, ,
где – функция Лагранжа (кинетический потенциал).
Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы
, .
45. Понятие об устойчивости равновесия консервативной системы
Для равновесия консервативных систем необходимо чтобы
, .
Положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.
У стойчивое положение равновесия – положение равновесия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.
Это движение будет обладать той или иной степенью повторяемости во времени, т.е. система будет совершать колебательное движение.
Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.
Н еустойчивое положение равновесия – положение равновесия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.
Б езразличное положение равновесия – положение равновесия, когда при любом малом начальном отклонении точек системы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии.
Критерием устойчивого положения равновесия системы является
, (3.48.1)
где – значение обобщенной координаты, удовлетворяющее данному условию.
Выражение (3.48.1) носит название критерия Лагранжа-Дирихле устойчивости положения равновесия механической системы в консервативном поле.
46. Понятие о малых колебаниях механической системы
Механическая система может совершать колебания только вблизи устойчивого положения равновесия при действии на нее консервативных сил. В этом положении обобщенная координата , .
Система с одной степенью свободы в случае стационарных, голономных, идеальных, неосвобождающих связей имеет одну обобщенную координату , и ее движение описывается одним уравнением Лагранжа:
. (3.49.1)
Колебания считаются малыми, если при движении системы обобщенная координата , скорость и ускорение достаточно малы и в уравнении Лагранжа (3.49.1) можно пренебречь всеми членами второго и более высокого порядков малости относительно , и , т.е. слагаемыми, в которые входят квадраты этих величин или их произведения. Поэтому такие колебания называются линейными.
Кроме этого, в случае малых колебаний функции , , или иногда при вычислении потенциальной энергии принимают .