- •1.Законы Ньютона
- •2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.Первая основная задача динамики пункта и ее решение
- •4. Вторая основная задача динамики точки и ее решение
- •5. Виды колебаний материальной точки. Свободные колебания
- •6. Затухающие колебания точки
- •7. Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления среды
- •8. Вынужденные колебания точки при наличии сопротивления среды
- •9. Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и кориолисова сила инерции
- •10. Некоторые основные понятия динамики системы материальных точек (система материальных точек, связи, силы)
- •11. Масса и центр масс системы материальных точек
- •12. Момент инерции тела. Радиус инерции
- •13. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
- •14. Осевые моменты инерции тел простейшей формы
- •15. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения
- •16. Количество движения механической системы. Импульс силы
- •17. Теоремы об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения
- •18. Момент количества движения материальной точки и механической системы
- •19. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы. Закон сохранения
- •20. Кинетическая интерпретация теоремы моментов (теорема Резаля)
- •21. Две меры механического движения. Кинетическая энергия материальной точки
- •22. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •23. Работа силы. Мощность. Теоремы о работе. Примеры вычисления работы
- •24. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кенига
- •25. Кинетическая энергия твердого тела
- •26. Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •27. Вычисление работы сил, действующих на твердое тело
- •28. Элементарная теория гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы
- •29. Движение тяжелого гироскопа
- •30. Возможные перемещения. Идеальные связи
- •31. Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
- •32. Методика применения принципа возможных перемещений
- •33. Понятие о принципе Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки
- •34. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •35. Приведение сил инерции
- •36. Общее уравнение динамики
- •37. Обобщенные координаты. Обобщенные скорости и число степеней свободы механической системы.
- •38. Обобщенные силы и способы их вычисления
- •39. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах
- •41. Уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода
- •42. Методика применения уравнений Лагранжа второго рода для решения задач
- •43. Понятие о потенциальном (консервативном) силовом поле и потенциальной энергии. Закон сохранения механической энергии
- •44. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем
- •45. Понятие об устойчивости равновесия консервативной системы
- •46. Понятие о малых колебаниях механической системы
4. Вторая основная задача динамики точки и ее решение
Задача заключается в следующем: зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.
Начальные условия движения точки в декартовых осях – это координаты точки и проекции начальной скорости на оси и в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый равным нулю.
Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.
5. Виды колебаний материальной точки. Свободные колебания
Колебание или колебательное движение материальной точки – это повторяющееся во времени движение точки около своего положения равновесия в двух противоположных направлениях.
Колебания материальной точки могут быть линейные и нелинейные, большие или малые. Будем изучать только линейные колебания точки. Колебания материальной точки могут быть: свободными, затухающими и вынужденными. Свободные колебания возникают в тех случаях, когда отсутствует сопротивление среды. В дальнейшем будем предполагать, что сила упругости, действующая на материальную точку, пропорциональна ее отклонению от положения равновесия. Силу упругости будем моделировать пружиной. Модель свободных колебаний точки:
, где с-жесткость пружины.
Если шарик в процессе движения, отклоняется от равновесия, на него действует сила упругости , которая стремится вернуть шарик в положение равновесия и поэтому называется восстанавливающей силой.
Для определения кинематического уравнения движения точи М, необходимо решить вторую задачу динамики точки, т. е. проинтегрировать уравнение.
или . (3.6.1)
Получим (3.6.2) – дифференциальное уравнение свободных колебаний точки.
Где (3.6.3) – циклическая частота свободных колебаний точки.
Выражение (3.6.2) представляет собой линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Поэтому его решение надо искать в виде экспоненты:
, (3.6.4)
. (3.6.5)
Подставляем (3.6.4) и (3.6.5) в (3.6.2), получаем;
, (3.6.6) – характерное уравнение для (3.6.2). Корни уравнения (3.6.6) являются мнимыми:
. (3.6.7)
Общее решение дифференциального уравнения (3.6.2) имеет вид:
. (3.6.7)
Для определения постоянных интегрирования и продифференцируем по времени (3.6.7) и из полученного выражения и уравнения (3.6.7) с учетом начальных условий движения при находим
; .
Запишем решение (3.6.2) в амплитудной форме, для чего введем следующую подстановку:
, (3.6.8)
С учетом этого (3.6.7) примет вид
, (3.6.9)
где – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний.
К олебания, совершаемые по законам (3.6.7) или (3.6.9) называются гармоническими. Изобразим график свободных колебаний точки, основываясь на (3.6.9).
Величина a, представляющая наибольшее отклонение точки М от положения равновесия, называется амплитудой колебания.
.
Свойства свободных колебаний;
1) Частота и период свободных колебаний не зависит от начальных условий движения, и являются неизменными характерными условиями колеблющейся системы.
2) Амплитуда и начальная фаза свободных колебаний определяются начальными условиями движения.
3) Если на материальную точку действует постоянная сила, направленная вдоль ее движения, то кинематические характеристики движения (k,t,a, ) не изменяются, а лишь смещаются по направлению силы в центр колебаний на величину так называемого статического смещения.