11. Масса и центр масс системы материальных точек
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек.
М
ассой
системы материальных точек называется
физическая величина равная арифметической
сумме масс всех точек, входящих в систему.
Масса характеризует инертные свойства системы материальных точек при ее постоянном движении.
Центром
масс или центром инерции механической
системы называется геометрическая
точка, радиус-вектор
которой
определяется равенством
,
где
,
–
соответственно масса и радиус-вектор
k-ой
точки системы.
Декартовы координаты центра масс определяются формулами:
где
–
координаты k-ой
точки системы.
Зависимость между скоростью центра масс и скоростями точек механической системы имеет вид:
.
Зависимость между ускорением центра масс и ускорениями точек механической системы выражается соотношением
.
12. Момент инерции тела. Радиус инерции
При поступательном движении системы мерой ее инерции служит масса, для характеристики инерционных свойств в других случаях движения вводят понятия о моментах инерции системы.
Различают полярные, осевые, планарные и центробежные моменты инерции.
Моментом инерции тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния этой точки до полюса 0:
.
Моментом инерции тела относительно оси (осевым моментом инерции) называется величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния этой точки до оси:
;
;
или
;
;
Моментом инерции тела относительно плоскости (планарным моментом инерции) называется величина равная сумме произведений масс каждой точки тела на квадрат расстояния этой точки до плоскости:
;
;
.
Моментом инерции тела относительно пары координат осей (x,y) (центробежным моментом инерции) называется величина равная сумме произведений масс всех точек тела на их координаты в этих осях:
;
;
.
В
отличие от остальных моментов инерции
,
,
могут быть как положительными, так и
отрицательными, а все остальные только
положительными.
Между перечисленными моментами инерции тела существует определенная зависимость:
;
;
;
.
13. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
Существует простая связь между моментами инерции твердого тола относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Эта связь устанавливается теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями:
.
14. Осевые моменты инерции тел простейшей формы
-
№ п/п
Название твердого тела
Вид
твердого тела
Моменты инерции
1
Материальная точка массы m
2
Тонкое однородное кольцо
3
Круглый однородный диск массы М и радиуса R
,
4
Тонкий однородный стержень массы М и длины l
,
5
Однородная прямоугольная пластина массы М
6
Круглый цилиндр массы М, радиуса R и высотой l
,