3. Методы анализа сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называют цепь, содержащую две и более ветвей с источниками энергии.

1. Анализ сложных цепей с использованием уравнений электрического состояния

При составлении уравнений электрического состояния целесообразно придерживаться последовательности:

1. произвольно задаться положительными направлениями токов во всех ветвях;

2. составить уравнения электрического состояния для узлов;

3. составить уравнения электрического состояния для контуров.

Общее число уравнений должно быть равно количеству неизвестных, т.е. количеству токов ветвей . Эти уравнения должны быть независимыми, т.е. ни одно из них не должно быть следствием других. Так число уравнений, составленных для узлов должно быть на единицу меньше общего числа узлов , поскольку каждая ветвь связывает два узла, и значение тока в одно уравнение войдет со знаком «плюс», а в другое – со знаком «минус». Следовательно, одно уравнение окажется зависимым (лишним). Количество уравнений для контуров определяется: .

Контуры следует выбирать так, чтобы в систему составляемых уравнений вошли все ветви системы, а в каждый из контуров – наименьшее число ветвей.

Примеры

Рассчитать токи и напряжения для цепи, приведенной на рис.3.1.

II

I

Рис.3.1

Произвольно выберем положительные направления токов ветвей (обозначены на рис.3.1). Положительные направления падений напряжений на элементах совпадают с направлением токов. Запишем уравнения электрического состояния, используя законы Кирхгофа.

Для верхнего узла: , где – ток источника тока.

Для контура I: , где – напряжение на источнике тока J.

Для контура II: , где – ЭДС источника напряжения.

Направления обхода контуров на рис. 3.1 показано дугообразными стрелками.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными ( , и ) позволяет определить искомые токи и напряжения ( , и ).

Рассчитать токи и напряжения для цепи, приведенной на рис.3.2.

рис.3.2

Произвольно выберем положительные направления токов ветвей (обозначены на рис.3.2). Положительные направления падений напряжений на элементах совпадают с направлением токов. Запишем уравнения электрического состояния, используя законы Кирхгофа.

Для верхнего левого узла: , где – ток источника тока.

Для верхнего правого узла: .

Для контура I: , где – напряжение на источнике тока J.

Для контура II: , где – ЭДС источника напряжения.

Для контура III: , где – ЭДС источника напряжения.

Направления обхода контуров на рис. 3.2 показано дугообразными стрелками.

Решение системы пяти уравнений с пятью неизвестными ( , , , и ) позволяет определить искомые токи и напряжения ( , , , и ).

3.2Анализ сложных цепей с использованием метода наложения.

Метод наложения позволяет свести расчет сложной цепи с несколькими источниками энергии к расчету нескольких цепей с одним источником. Метод наложения основан на использовании принципа суперпозиции, согласно которому ток в любой ветви линейной цепи, вызванный одновременным действием нескольких источников энергии, равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником в отдельности. При определении токов ветвей, вызванных i-тым источником энергии, для исключения влияния остальных источников энергии принимают равными нулю напряжение (ЭДС) у источника напряжения и ток у источника тока. Поскольку внутреннее сопротивление у источника напряжения равно нулю, а у источника тока – бесконечности, то при составлении частной схемы для определения токов ветвей, вызванных i-тым источником энергии, остальные источники напряжения заменяют проводником (закорачивают), а источники тока – разрывом ветви.

Пример

Рассчитать методом наложения токи и напряжения для цепи, приведенной на рис.3.1.

На рис. 3.3,а приведена первая схема позволяющая найти частные токи , и , вызванные действием источника тока. После замены резисторов и эквивалентным резистором , схема рис. 3.3.а преобразуется к виду рис.3.3,б. Ток , где – ток источника тока, а напряжение на эквивалентном резисторе: . Частные токи и определяются делением на сопротивления резисторов и .

Рис. 3.3,а Рис. 3.3,б

На рис. 3.4 приведена вторая схема позволяющая найти частные токи и , вызванные действием источника напряжения. Поскольку в схеме только один контур, то частные токи и равны и определяются выражением: , где е – ЭДС источника напряжения.

Рис.3.4

Токи , и определяются суммированием частных токов, а напряжение на источнике тока – определяется использованием второго закона Кирхгофа для левого контура схемы рис.3.1.