3. Интерполяционный полином Лагранжа
Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
(4.7)
Для вычисления значений этого полинома не требуется предварительного определения его коэффициентов путем решения систем уравнений. Однако для каждого значения аргумента полином приходится пересчитывать вновь, поэтому этот метод обычно используют только тогда, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек .
Составим алгоритм вычисления, записав полином (4.7) в виде
где
Тогда, если рекуррентная формула для вычисления полинома
,
для
при 
то
вычисление коэффициентов
сводится к следующим выражениям
;
;….
,
для
Если промежуточных значений запоминать не требуется, то алгоритм прост.
Вычислим в точке значение функции , заданной таблично
-
Х
5
5.5
6
6.5
7
Y
51
76.625
109
148.875
197
используя полином Лагранжа.
Дальнейшие вычисления приведем в таблице5.2.
Таблица 5.2. Вспомогательная таблица для интерполирования значений сеточной функции полиномом Лагранжа
i |
xi |
xi-x0 |
xi-x1 |
xi-x2 |
xi-x3 |
xi-x4 |
yi |
Di |
0 |
5 |
0,75 |
-0,5 |
-1 |
-1,5 |
-2 |
51 |
1,5 |
1 |
5,5 |
0,5 |
0,25 |
-0,5 |
-1 |
-1,5 |
76,625 |
-0,375 |
2 |
6 |
1 |
0,5 |
-0,25 |
-0,5 |
-1 |
109 |
0,25 |
3 |
6,5 |
1,5 |
1 |
0,5 |
-0,75 |
-0,5 |
148,875 |
-0,375 |
4 |
7 |
2 |
1,5 |
1 |
0,5 |
-1,25 |
197 |
1,5 |
где
-
произведение элементов i–й
строки.
-
произведение элементов главной диагонали.
Диагональные
элементы получаем путем подставления
х вместо
.
Например, для
в ячейке xi-x0
получим
.
Используя многочлен Лагранжа четвертой степени записанный в форме:
получим
.
Представим реализацию интерполяции полиномом Лагранжа в пакете MathCad.
Составим фрагмент программы
p:=0;
for k:=0 to n do
begin b:=1;
for j:=0 to n do
if j <> k
then begin q:=x[k]-x[i]; s:= x-x[i]; b:= b*s/q; p=p+b*y[k] end
end;
и его нетрудно обобщить на случай вычисления первой и второй производных:
