6. Контрольные вопросы

1. В чем суть проблемы интегрального сглаживания?

2. Какое условие согласования исходной сеточной функции и аппроксимирующей функции лежит в основе метода наименьших квадратов?

3. Какие функции в качестве базисных используются в МНК?

4. Запишите общий вид аппроксимирующей функции 2-ой степени, получаемой согласно метода наименьших квадратов.

5. Как формируется система уравнений для поиска неизвестных коэффициентов по МНК?

6. Какие численные методы можно использовать для решения полученной СЛАУ?

7. Как определить значение исходной сеточной функции в точке, не являющейся узловой?

Лабораторно-практическая работа 6

Численное дифференцирование

1. Введение

Решение задач на компьютере условно можно разделить на следующие этапы:

- постановка задачи, её формализация и построение математической модели;

• выбор метода решения и разработка алгоритма;

• составление программы, её отладка и тестирование;

• вычисления, анализ результатов расчета и документирование.

На всех этапах решения задачи на компьютере возникают погрешности, искажающие результаты вычислений. Ошибки результата будут складываться из:

• неточности используемой математической модели;

• погрешности исходных данных;

• погрешности используемого приближенного метода;

• погрешности округления и выполнения арифметических операций.

Если в модели не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи, то она может внести существенные погрешности. Погрешность математической модели связана с принятыми допущениями, упрощающими решаемую задачу. Кроме того, важно правильно учитывать область применения модели.

Исходные данные задачи часто являются основным источником погрешности. Эти погрешности не могут быть уменьшены в процессе решения задачи. Следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точности.

Погрешность метода связана, например, с тем, что при решении задачи обычно производную заменяют разностью, интеграл – суммой или бесконечный итерационный процесс обрывают после некоторого конечного числа итераций. При выборе метода вычисления и построении алгоритма погрешность можно регулировать и, поэтому стремятся довести её до величины, в несколько раз меньшей погрешности исходных данных. Дальнейшее её снижение не приведет к повышению точности результатов, а лишь необоснованно увеличит объем вычислений.

Из-за ограниченности разрядной сетки при компьютерных вычислениях неизбежны погрешности округления. В отличие от ручных коротких вычислений, в длинных компьютерных расчетах эти ошибки могут накапливаться. Иногда погрешности округлений в сочетании с плохо организованным алгоритмом могут сильно исказить результаты. В зависимости от реализуемого алгоритма, ошибки округления могут либо расти, либо уменьшаться. Поэтому очень важно использовать, так называемые, устойчивые алгоритмы, в которых ошибки округления не накапливаются.

В данной работе, на примере задачи численного дифференцирования, обсудим, с одной стороны, вопросы, связанные с точностью вычислений, а с другой, продемонстрируем различные этапы создания программного продукта.