2. Метод Якоби для решения слау

Для решения системы (1.1) итерационным методом, преобразуем ее к виду:

Эти преобразования для i-го компонента запишем так:

(2.1)

Зададим произвольное начальное приближение для неизвестных, например, положив их равными или . Затем подставим эти значения в правую часть соотношения (2.1), в результате получим первое приближение для неизвестных

Продолжая этот итерационный процесс, получим рекуррентное соотношение метода Якоби (или метода простых итераций):

(2.2)

Обсудим подробнее формулу преобразований (2.1) исходной системы (1.1). Для этого удобней перейти к матричной форме записи. Представим матрицу в виде суммы трех матриц

(2.3)

где - диагональная матрица с той же главной диагональю, - нижняя треугольная, -

верхняя треугольная матрицы, в которых на диагоналях расположены нули. Нетрудно показать, что

С одной стороны, если вектор абсолютных отклонений, а - вектор невязок, то рекуррентное соотношение (2.2) метода Якоби можно представить в виде:

(2.4)

С другой стороны, преобразование системы от вида (1.1) к (2.2) можно записать так

(2.5)

где , . Нетрудно заметить, что обратной к диагональной матрице является матрица с элементами диагонали .

В учебниках по численным методам доказывается, что если какая-либо из норм матрицы меньше единицы:

(2.6)

то итерационный процесс сходится к точному решению системы при любом выборе начального приближения .

Достаточным условием сходимости итерационного процесса является условие преобладания по модулю диагональных элементов в исходной матрице :

(2.7)

при этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Достаточность означает, что для некоторых систем итерационный процесс может сходиться и при нарушении условия (2.7).

И еще остановимся немного на способах завершения итерационного процесса. Это можно сделать по критерию малости абсолютных отклонений:

, (2.8)

относительных разностей:

(2.9)

или невязок:

, (2.10)

где - наперед заданная малая величина.

Реализацию метода Якоби можно провести в Excel. Рассмотрим методику на примере системы .

В качестве начального значения взято . Заданная точность =0,00001. Дальнейшее вычисление приведем в виде таблицы.

Таблица 2.1. Вспомогательная таблица для вычисления корней системы методом Якоби.

k	x1^k	x2^k	x3^k	max|xi^k+1-xi^k|
0	1	0	1	-
1	2,33333	1,50000	1,00000	1,50000
2	1,83333	0,83333	1,05556	0,05556
3	2,07407	1,06944	1,00000	0,24074
4	1,97685	0,96296	0,99846	0,00154
5	2,01183	1,01196	0,99537	0,04900
6	1,99447	0,99524	1,00004	0,00467
7	2,00160	1,00275	1,00026	0,00751
8	1,99917	0,99914	1,00038	0,00013
9	2,00042	1,00032	0,99999	0,00125
10	1,99989	0,99979	0,99997	0,00002
11	2,00006	1,00006	0,99997	0,00027
12	1,99997	0,99998	1,00000	0,00003
13	2,00001	1,00002	1,00000	0,00004
14	2,00000	1,00000	1,00000	0,00000

В пакете Mathcad реализация метода Якоби для рассмотренной системы будет выглядеть следующим образом. Для начала приведем эту систему к нормальному виду

Дальнейшая реализация приведена в пакете Mathcad .