2. Построение алгоритма исключения Гаусса

Метод исключения Гаусса можно разбить на два этапа, называемых прямым и обратным ходом, соответственно. На первом этапе исходная система (2) преобразуется к верхнетреугольному виду:

(1.3)

где для удобства вместо элементов в правой части системы (2) записаны Индекс в скобках вверху - индекс преобразования прямого хода, - означает, что коэффициенты изменялись на -м шаге прямого хода.

На каждом шаге первого этапа решения СЛАУ используются две формулы преобразований:

1. нормировка на единицу диагонального элемента (его называют ведущим или главным) и формирование в -ой строке новых коэффициентов

(1.4)

для ;

2. последовательное исключение всех элементов в -ом столбце, расположенных ниже диагонали и вычисление новых коэффициентов в оставшейся части матрицы:

(1.5)

Нет необходимости в памяти компьютера запоминать все полученные нули и единицы. Вычисления можно выполнять только для элементов с индексами Верхние индексы могут быть опущены, если не требуется запоминать все промежуточные вычисления.

На втором этапе решения из системы (1.3) последовательно, начиная с последнего уравнения, определяются все значения неизвестных

(1.6)

Прежде чем написать программу рекомендуется вручную решить несколько простых систем уравнений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Прежде чем приступить к изучению дальнейшего материала, необходимо детально разобраться с последовательностью выполняемых операций, составить алгоритм и написать самостоятельно программу решения СЛАУ методом Гаусса.

3. Реализация алгоритма Гаусса в Excel

Рассмотрим реализацию алгоритма Гаусса в Excel на примере системы

.

Дальнейшие вычисления приведем в виде таблицы (таб.1.1).

Таблица 1.1. Вспомогательная таблица для решения системы методом Гаусса

k=0	3	-1	0	5
	-2	1	1	0
	2	-1	4	15
k=1	1	-0,3333	0	1,666667
	0	0,33333	1	3,333333
	0	-0,3333	4	11,66667
k=2	1	-0,3333	0	1,666667
	0	1	3	10
	0	0	5	15
k=3	1	-0,3333	0	1,666667
	0	1	3	10
	0	0	1	3
			x1 =	2
			x2 =	1
			x3 =	3