6. Вычисление определителя и обратной матрицы
Метод
исключения Гаусса дает эффективный
способ вычисления определителя матрицы
В самом деле, поскольку в прямом ходе
мы осуществляем разложение исходной
матрицы на произведение верхне- и нижне-
треугольных матриц, определитель равен
произведению полученных диагональных
элементов:
(1.8)
где p – число перестановок, осуществляемых при выборе ведущего элемента (см. ниже).
Определитель нашей тестовой
системы (1.7) равен
.
Необходимо составить и отладить
программу вычисления определителя.
Вычисление обратной матрицы, исходя
из её определения
,
можно свести к решению n
систем линейных уравнений вида:
(1.9)
где
…;
;
(1.10)
столбцы обратной матрицы
…;
(1.11)
единичные векторы правой части.
Специфика решения задачи (1.11) состоит в том что матрица коэффициентов у всех систем одинакова, меняется лишь правая часть системы. Поэтому приведение матрицы к верхнетреугольному виду осуществляется только один раз. Общее число операций в связи с этим только в три раза будет больше, по сравнению с решением n систем уравнений.
Приведем ещё
один алгоритм нахождения обратной
матрицы, известный как метод Жордана-Гаусса,
позволяющий вообще обойтись без
обратного прохода. Для его реализации
вводится расширенная матрица
,
путем дополнения матрицы
единичной:
, (1.12)
и далее над этой матрицей произвести операции прямого хода. Такая модификация алгоритма Гаусса, позволяет получить матрицу:
, (1.13)
в
которой элементы второй её половины
– элементы обратной матрицы
Обратная матрица для нашего теста (1.7) равна:
(1.14)
Вычисление определителя и обратной матрицы в пакете Excel проводится аналогично как и решение СЛАУ методом Гаусса.
В пакете Mathcad для вычисления определителя и обратной матрицы необходимо использовать панель инструментов Матрицы.
Требуется написать и отладить программу вычисления обратной матрицы двумя изложенными здесь методами. В качестве теста необходимо проверить, что произведение исходной матрицы на обратную должно давать единичную матрицу. Составить необходимые процедуры.
Рекомендуется перед составлением требуемых процедур провести вычисление определителей и обратных матриц вручную. Это позволит хорошо разобраться в алгоритме, и тогда значительно меньше времени Вы потратите на отладку и тестирование программы.