5. Контрольные вопросы

1. В каких случаях необходимо построение полиномов?

2. Сформулируйте условие функциональной интерполяции.

3. Запишите канонический полином степени m в общем виде. Как можно определить неизвестные параметры ?

4. Опешите определитель Вандермонда.

5. Объясните методику построения полинома Лагранжа.

6. Как построить полином Ньютона на неравномерной сетке?

7. Запишите полином Ньютона для равномерной сетки, с помощью которого можно решить задачу интерполирования «вперед» или экстраполирования «назад».

8. Запишите полином Ньютона для равномерной сетки, с помощью которого можно решить задачу интерполирования «назад» или экстраполирования «вперед».

Лабораторно-практическая работа 5

Метод наименьших квадратов

1. Введение

Пусть известна совокупность данных , полученных из результатов каких-либо наблюдений. Из-за ошибок измерений проводить интерполяцию методами, описанными в предыдущих работах, нецелесообразно. В таких случаях проводят аппроксимацию данных функцией φ(х), которая не проходит точно через экспериментальные точки, а только в целом отражает исследуемую зависимость, сглаживая возможные выбросы за счет погрешностей. В качестве критерия близости аппроксимирующей функции φ (х) к исходным данным выбирается не условие Лагранжа, а малость отклонений в узлах . Чтобы избежать влияния разных знаков величин ε_к на их сумму, они возводятся в квадрат и задача сводится к поиску минимума суммы квадратов отклонений:

. (5.1)

Аппроксимирующая функция φ (х) зависит от некоторых параметров. Метод наименьших квадратов состоит в нахождении оптимальных значений этих параметров, обеспечивающих минимум функционала (5.1).

Выбор конкретной функции φ (х) зависит от свойств изучаемой зависимости , таких как периодичность, симметрия, логарифмический, полиномиальный или показательный характер поведения и др. В данной работе будем рассматривать аппроксимацию полиномом степени m:

(5.2)

Обычно выбирается невысокая степень полинома: линейная (m=1), параболическая (m=2) или кубическая (m=3) аппроксимация.

Метод наименьших квадратов допускает важные статистические интерпретации. Так, выбор подходящей аппроксимирующей функции основывается на соответствующих статистических критериях. Статистической обработке результатов наблюдений посвящены отдельные курсы, здесь же основное внимание будет уделяться вычислительным проблемам.

2. Линейная аппроксимация

Пусть

(5.3)

Минимум функционала

(5.4)

находится из условия равенства нулю частных производных по параметрам а₀ и а₁:

(5.5)

(5.6)

Используя свойство дистрибутивности суммы, после несложных преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а₀ и а₁:

(5.7)

(5.8)

Вводя обозначения для средних величин

(5.9) (5.10)

запишем решения системы (5.7), (5.8) в виде:

(5.11)

(5.12)

Полученные соотношения легко программируются. Разработайте программу решения данной задачи.

Заметим, что в знаменателе выражений (5.11), (5.12) присутствует величина:

(5.13)

называемая дисперсией и характеризующая разброс экспериментальных данных вокруг среднего значения <х>. Аналогично, вычисляется дисперсия:

(5.14)

Чтобы проверить, насколько линейная аппроксимирующая функция (5.3) соответствует исходным данным, необходимо вычислить среднеквадратичное отклонение:

(5.15)

и сравнить его с известной суммарной погрешностью эксперимента ε. Если эти величины одного порядка S ≈ ε, то считается, что аппроксимирующая функция выбрана правильно.

Другой метод проверки, насколько линейная функция соответствует исходным данным, состоит в вычислении, так называемого коэффициента корреляции:

(5.16)

Чем ближе значение этого коэффициента по модулю к единице, тем лучше подходит линейная аппроксимация. На практике обычно 0,75|r|1.

Дополнить разработанную Вами программу сделанными выше замечаниями.

Если экспериментальные данные получены с разными ошибками у_к  _к, где _к–ошибка отдельного измерения, то целесообразно вводить понятие веса каждой экспериментальной точки _к = 1/_к. Чем меньше ошибка, тем больше все точки и тем она важнее. Метод наименьших квадратов допускает простое обобщение на этот случай. Вводится понятие средневзвешенных величин х= и т. д., а функционал преобразуется к виду:

– min. (5.17)