- •1. Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости.
- •2. Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.
- •Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:
- •3. Абсолютно твердое тело. Виды движения абсолютно твердого тела. Кинематика вращательного движения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.
- •4.Динамика материальной точки.Масса.Сила. Импульс(количество движения).Законы Ньютона.
- •5. Система материальных точек. Силы внешние и внутренние. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса.
- •6. Система материальных точек. Центр масс. Движение центра масс замкнутой системы.
- •7. Работа. Мощность. Работа постоянной и переменной силы.
- •8. Энергия. Виды механической энергии. Кинетическая энергия. Вывод формулы кинетической энергии.
- •9. Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и потенциальной энергией. Градиент потенциальной энергии. Условие равновесия системы.
- •10. Работа и энергия упругих сил и сил тяготения. Потенциальная
- •11. Консервативные и неконсервативные силы. Закон сохранения энергии в механике
- •12. Момент инерции материальной точки. Момент инерции тела. При-
- •13. Момент силы. Момент импульса. Основной закон динамики вращательного движения.
- •14. Момент импульса материальной точки. Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. Примеры.
- •15. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращательном движении.
- •16. Сопоставление характеристик и уравнений для поступательного
- •17. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение соб-
- •18. Гармонический осциллятор. Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонического осциллятора. Вероятность местонахождения гармонического осциллятора.
- •19. Физический и математический маятники. Уравнение движения маятника. Период колебаний. Приведенная длина физического маятника.
- •20. Формула Эйлера. Запись гармонических колебаний в комплексной форме
- •21. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, время релаксации, коэффициент затухания, декремент.
- •22. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы и его решение. Период и амплитуда вынужденных колебаний. Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.
- •23. Вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний. Резонанс.
- •24. Общее определение волнового процесса. Уравнение плоской
- •25. Волновой процесс. Упругие волны. Скорость распространения
- •26. Динамика волнового процесса. Перенос энергии волной. Вектор Умова.
- •27. Сложение волн. Принцип суперпозиции. Стоячая волна. Узлы и
- •30. Понятие идеального газа. Основные газовые законы. Уравнение состояния идеального газа. Универсальная газовая постоянная.
- •31. Молекулярно-кинетический и термодинамический подходы в молекулярной физике. Основные положения молекулярно-кинетической теории строения вещества и их опытное подтверждение. Основное уравнение
- •37. Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости. Характерные скорости молекул: средняя и средняя квадратичная, наиболее вероятная. Их вычисления. Экспериментальная проверка закона
- •38. Функция распределения молекул по координатам. Функция
- •39. Число столкновений и средняя длина свободного пробега моле-
- •40. Явления переноса в газах. Диффузия. Коэффициент диффузии.
- •41. Первое начало термодинамики. Количество теплоты. Работа и теплота. Внутренняя энергия системы.
- •42.Адиабатический процесс.Уравнение Пуассона. Работа газа при адиабатическом процессе.
- •44. Работа, совершаемая газом в различных изопроцессах.
- •45. Графическое изображение термодинамических процессов и рабо-
- •46. Приведенное количество теплоты. Неравенство Клаузиуса.
- •47. Энтропия и ее свойства. Физический смысл. Вычисление изме-
- •48. Второе начало термодинамики. Различные формулировки. Ста-
- •49. Реальные газы. Уравнение состояния реального газа. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля-Томсона.
- •51. Инерциальные системы отсчета. Преобразования и принцип от-
- •52. Основные постулаты специальной теории относительности. Ка-
- •53. Преобразования Лоренца-Эйнштейна и их некоторые кинемати-
- •54. Длина отрезка и длительность событий в различных системах отсчета. Кинематические следствия из преобразований Лоренца.
- •55. Релятивистская динамика. Релятивистские масса и импульс.
- •56. Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в
20. Формула Эйлера. Запись гармонических колебаний в комплексной форме
Для представления гармонических колебаний в комплексной форме воспользуемся формулой Эйлера eiα = cos α +i·sin α, где i = (-1)1/2 - мнимая единица. Изобразим произвольное комплексное число z~ = x + i·y на плоскости XY. В декартовой системе координат действительную часть комплексного числа x обычно откладывают по оси абсцисс, а мнимую y - по оси ординат (см. рис. 11.6). Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде вектора A на комплексной плоскости, проведенного из начала координат в точку с координатами {x, y}. Исходя из формулы Эйлера и представления z~ в виде суммы действительной и мнимой составляющих, любое комплексное число можно записать в экспоненциальной форме: z~ = A·eiα где A = (x2 + y2)1/2 - модуль комплексного числа; tg α = y/x - фаза комплексного числа.
21. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, время релаксации, коэффициент затухания, декремент.
Проведём физико-математический анализ собственных (затухающих) колебаний применительно к грузу на пружине. Используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона. Силу сопротивления зададим в виде: Fcопр = - r , где r - коэффициент сопротивления вязкой среды. Запишем второй закон Ньютона для груза массой m, колеблющегося в вязкой среде на пружине с жесткостью k: mа = F; F = Fупр + Fсопр = - kх – r , или для одномерного случая: mx" = - kх – rх' = х" + 2(r2m)х' + (km)х = 0 х" + 2х + о2х = 0 Полученное дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний (ДУСГК) наличием члена, содержащего первую производную х' от смещения х и отражающего собой действие силы сопротивления. Под = r2m обозначен коэффициент затухания - отношение мер сопротивления и инертности. За о = (k/m) обозначена частота свободных колебаний, т. е. в отсутствии сопротивления, при r = 0.
Для решения полученного дифференциального уравнения затухающих колебаний сведём его путём замены переменной х = zе–t к уравнению свободных гармонических колебаний. Выразим первую и вторую производные х и подставим их в ДУЗК:
х' = ddt(zе–t) = zе-t - ze-t; х" = ze- t + 2ze-t - ze-t - ze-t = ze-t - 2ze-t + 2ze-мt;
(z - 2z + 2z + 2z - 22z + о2z)e-t = 0 z + (о2 – 2)z = 0 или: z + 2z = 0, где 2 = о2 - 2.
В новой переменной z дифференциальное уравнение затухающих колебаний свелось к известному дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (ДУСГК), решение которого имеет стандартный вид гармонической функции z = Аоcos(t + ).
Осуществляя обратный переход к исходной переменной х, получим:
х = zе–t = Аоe-tcos (t + ) = Аcos (t + ) - уравнение затухающих колебаний, где А = Aоe-t - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.
Помимо убывания амплитуды колебаний, сопротивление среды приводит к понижению циклической частоты затухающих колебаний = (о2 – 2) в сравнении с частотой о свободных колебаний. Это можно объяснить тем, что сила сопротивления, будучи направленной против скорости (перемещения) груза, замедляет его движение, увеличивая длительность цикла (период), уменьшая частоту .
При достаточно большом затухании (удельном сопротивлении = r/2m) о колебательный характер процесса возвращения к положению равновесия системы, выведенной из него, исчезает, превращаясь в монотонно убывающий процесс, называемый апериодическим. В этом случае трение, диссипация преобладают над упругостью. Такой режим реализуется, например, для движения рамки электроизмерительных приборов.
Коэффициент затухания может быть осмыслен через обратную ему величину - время релаксации = 1, за которое, как нетрудно видеть, амплитуда колебаний убывает в е = 2,72 раз. Действительно, за время t = = 1, A = Aоe-t = Aоe-1 = Aоe-1 = Aоe.
Коэффициент недостаточно полно характеризует быстроту затухания колебаний, ибо из него неясно, сколько периодов колебаний (естественных масштабов времени) совершается за время релаксации. Коэффициент затухания характеризует быстроту спадания лишь огибающей колебаний. Поэтому вводят такую характеристику затухания колебаний, как декремент затухания , равный отношению значений двух соседних амплитуд (амплитуд, разделённых периодом):
= А(t)А(t + Т) = Aоe-tAоe-(t + Т) = e-te-t e-Т = eТ - изменение амплитуды за время, равное периоду Т.
На практике удобнее пользоваться логарифмическим декрементом (или ) затухания колебаний: = ln = ln [А(t)А(t + Т)] = ln eТ = Т; = Т = T. Его наглядный смысл может быть представлен через величину е - число колебаний, совершающихся за время релаксации , обратным которому и является : = T = 1(Т) = 1е, где е = Т.
Затухание колебаний фактически приводит к нарушению не только гармонического характера, но и периодического, ибо нет строгой повторяемости значений изменяющихся величин по причине их убывания. Отсюда следует, что периодические и гармонические колебания возникают при условии малого затухания (малого сопротивления среды, малой диссипации механической энергии колебаний).