55. Релятивистская динамика. Релятивистские масса и импульс.

Основной закон динамики. Связь между полной энергией и импульсом.

Требование обеспечения инвариантности такого фундаментального закона природы, как закон сохранения импульса, вынуждает перес­мотреть в СТО классическое определение импульса Р = m = mdr/dt. Этот важнейший закон динамики будет инвариантным законом (то есть выполнимым во всех ИСО), если заменить в определении импульса лабораторное время собственным (т. е. dt на d_о), которое является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Итак, в СТО, Р = mdr/d_о, где d_о - промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с материальной точкой, а dr – перемещение частицы в той ИСО, в которой определяется импульс.

T. к. d_о = dt(l –²/с²) , то Р = mdr/d_о = Р = m(dr/d_о)/(l –²/с²) = m/(l –²/с²) - реляти­вистское выражение для импульса. При   с оно переходит в классическое Р = m.

Соответственно основной закон динамики материальной точки - 2-ой за­кон Ньютона будет справедливым в СТО, т. е., релятивистки инвариантным, только в форме, приданной ему самим Ньютоном: dР/dt = F, где Р - релятивистский импульс, т. е.

Р = m/(l –²/с²;

здесь масса утрачивает прежний смысл коэффициента пропорциональности между силой и ускорением.

Некоторые авторы релятивистское толкование импульса основывают на зависи­мости массы тела от скорости его движения: m = m_о/(l –²/с²). В последнее время от этого отходят.

56. Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в

релятивистской динамике.

Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии ис­пользуем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:

dЕ_к = dА = Fdr = (dР/dt)dr = d[(m/(l –²/с²)] = {d(m)/(l –²/с²) + md(l –²/с²)} = {md/(l - ²/с²) + m(/с²)d/(l –²/с²)³} = md/(l –²/с²) + m³(d/с²)/(l –²/с²)³ = [md - m³(d/с²) + m³(d/с²)]/(l - ²/с²)³ = md/(l –²/с²)³ = d[mс²/(l –²/с²)]  Е_к = mс²/(l –²/с²) + const;

При  = 0, Е_к = 0, то есть mс²/(l –²/с²) + const = 0, откуда const = - mс² и

Е_к = mс²/(l –²/с²) - mс² = mс²[(1/(l –²/с²) – 1] .

При   с, (l –²/с²)  1 - ²/2с² и Е_к  m²/2 переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.

Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую – E_о = mс² - энергией покоя: Е_к = Е - Е_о.

Е = mс²/(l - ²/с²) - полная энергия тела.

Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Е_о = mс², следует, что всякое изменение m массы тела сопровождается изменением Е_о энергии покоя, так что Е_о = mс² - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).

Энергия связи системы.

Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс ис­ходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное коли­чество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляю­щие её и разлетаю­щиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказы­вается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную сум­марной кинетиче­ской энергии разлетающихся частиц, деленной на с².

Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Е_св, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их вза­имодействие убывает до нуля:

Е_св = m_с² - Мс², где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возве­дём её в квадрат и разделим на с²:

Е = mс²/(l –²/с²)  Е² – Е² ²/с² = m²с⁴ или, так как Р = m/(l –²/с²) = Е/с² 

Е² – Р²с² = m²с⁴ = const, или Е²/с² – Р² = m²с² = Inv

Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, на­зываемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическо­му инварианту - интервалу, объединив­шему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвари­ант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симмет­рии пространства и времени – их однородностью.