24. Общее определение волнового процесса. Уравнение плоской

монохроматической волны. Длина волны. Волновое число. Фазовая ско-

рость распространения волны.

Под волнами в механике понимают вид движений в упругой среде, представляющий собой взаимосвязанные колебания её частиц. Если в некоторой точке О упругой среды в момент времени t возбуждено гармоническое колебание частиц среды, за счёт последовательной передачи состояния возбуж­дения между упруго связанными частицами, это колебание придёт в точку Р с задержкой во времени на t = r/, где r - удаление точки О от точки Р, а  - скорость распространения колебаний (волны) в соответствующей среде.

Уравнение распространяющегося колебания и представляющего собой волну, запишется в виде:

х = Аcos[(t – t) + )] = Аcos(t – r + ) = Аcos(t –2rТ + ) = Аcos(2tТ –2r + ) = = А cos (t – kr + ) = А cos Ф.

Полученное уравнение называется уравнением бегущей гармонической волны (УБГВ), где введены обозначения:

 = Т - длина волны; численно равна расстоянию, проходимому волной за время, равное периоду Т колебания частиц среды. Фактически длина волны представляет собой пространст­венный период волны, то есть расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения (вдоль вектора  скорости) волны, на протяжении которого ее фаза Ф в данный момент времени изменяется на 2. Фаза характеризует состояние волнового процесса в данной точке в данный момент времени.

k =  = 2 - волновое число; оно определяет частоту повторения волнового процесса в пространстве, являясь пространственным аналогом угловой (циклической) частоты  = 2Т.

Бегущая гармоническая волна является процессом периодическим не только во времени (как гармоническое колебание), но и в пространстве. Поэтому у волны есть два периода – временной Т и пространственный  - и две частоты – временная  и пространственная k. Пары этих характеристик связаны между собой посредством третьей характеристики волны – скорости  ее распространения: Т = k = 

Уравнение Ф = t – kr +  = const является уравнением эквифазовой поверхности волны. Эту поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе, называют еще волновой поверхностью. Введенная ранее скорость распространения волны  = /Т или  = /k, фактически выражает скорость распространения ее эквифазовой поверхности волны, ибо указывает, что за время равное периоду Т, поверхность постоянной фазы перемещается на расстояние, равное длине волны . Поэтому ее называют фазовой скоростью волны.

25. Волновой процесс. Упругие волны. Скорость распространения

упругой волны. Продольная и поперечная волна. Уравнение плоской мо-

нохроматической волны. Длина волны.

Под волнами в механике понимают вид движений в упругой среде, представляющий собой взаимосвязанные колебания её частиц. Если в некоторой точке О упругой среды в момент времени t возбуждено гармоническое колебание частиц среды, за счёт последовательной передачи состояния возбуж­дения между упруго связанными частицами, это колебание придёт в точку Р с задержкой во времени на t = r/, где r - удаление точки О от точки Р, а  - скорость распространения колебаний (волны) в соответствующей среде.

Уравнение распространяющегося колебания и представляющего собой волну, запишется в виде:

х = Аcos[(t – t) + )] = Аcos(t – r + ) = Аcos(t –2rТ + ) = Аcos(2tТ –2r + ) = = А cos (t – kr + ) = А cos Ф.

Полученное уравнение называется уравнением бегущей гармонической волны (УБГВ), где введены обозначения:

 = Т - длина волны; численно равна расстоянию, проходимому волной за время, равное периоду Т колебания частиц среды. Фактически длина волны представляет собой пространст­венный период волны, то есть расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения (вдоль вектора  скорости) волны, на протяжении которого ее фаза Ф в данный момент времени изменяется на 2. Фаза характеризует состояние волнового процесса в данной точке в данный момент времени.

k =  = 2 - волновое число; оно определяет частоту повторения волнового процесса в пространстве, являясь пространственным аналогом угловой (циклической) частоты  = 2Т.

Бегущая гармоническая волна является процессом периодическим не только во времени (как гармоническое колебание), но и в пространстве. Поэтому у волны есть два периода – временной Т и пространственный  - и две частоты – временная  и пространственная k. Пары этих характеристик связаны между собой посредством третьей характеристики волны – скорости  ее распространения: Т = k = .

Уравнение Ф = t – kr +  = const является уравнением эквифазовой поверхности волны. Эту поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе, называют еще волновой поверхностью. Введенная ранее скорость распространения волны  = /Т или  = /k, фактически выражает скорость распространения ее эквифазовой поверхности волны, ибо указывает, что за время равное периоду Т, поверхность постоянной фазы перемещается на расстояние, равное длине волны . Поэтому ее называют фазовой скоростью волны.

По виду, форме волновой поверхности волны делят на плоские, сферические, и др. В плоской волне в среде без поглощения амплитуда не зависит от удаления от источника, а в сферической волне убывает обратно пропорционально удалению r от источника волны.

Уравнение х =Аcos(t – kr + ) = А cos Ф является решением следующего дифференциального уравнения, называемого волновым: х_t^ – ²х_r^ = 0

Проверим, что это так. Найдем вторые производные от х по времени (х_t^) и по пространственной координате (х_r^) и подставим их в волновое уравнение:

х_t^ = - А sin (t – kr + ); х_t^ = - ²А cos (t – kr + ) = - ²х.

х_r^ = kАsin (t – kr + ); х_r^ = - k²А cos (t – kr + ) = - k²х.

Поделив вторые производные, получаем: х_r^ х_r^ = ²k²  х_t^ – (²k²)х_r ^ = 0 или х_t^ – ²х_r^ = 0 - дифференциальное уравнение бегущей гармонической (монохроматической- волна, у-ние кт-рой представ собой строго гармонич ф-цию и кот-я явл бесконесной во времени и в пр-ве) волны (ДУБГВ).

Действительно, бегущая гармоническая (монохроматическая) волна, так же, как и гармоническое колебание, изображается гармонической функцией, особенностью которой является то, что ее вторая производная "возвращается" к ней самой. Поэтому бегущая гармоническая волна и удовлетворяет уравнению (волновому), которое связывает вторые производные от функции по ее временной и пространственной координатам (переменным, аргументам).

В зависимости от соотношения между направлениями колебания частиц и распростране­ния волны различают продольные волны, у которых эти направ­ления параллельны, и поперечные волны, у которых названные направления перпендикулярны.

Продольные волны обязаны своим существованием упругим деформациям сжатия - растяжения, а поперечные – деформациям сдвига. Соответственно поперечные волны могут существовать только в твердых телах (жидкости и газы не обладают упругостью к сдвигу).

Скорости распространения продольных и поперечных волн определяются следующими выражениями: _прод = Е; _попер = G, где  - плотность упругой среды; Е и G - модули упругости(Под модулями упругости понимают отношения механических напряжений (сил, приходящихся на единицу площади поверхности), соответственно нормального и касательного к деформациям сжатия-растяжения и сдвига соответственно), соответственно к сжатию (модуль Юнга) и сдвигу, являющиеся табличными характеристиками материала.

От скорости  распространения волны следует отличать скорость u колебания частиц среды. Последняя представляет собой быстроту смещения колеблющихся частиц, то есть u = dхdt = х^_t.