26. Динамика волнового процесса. Перенос энергии волной. Вектор Умова.

С энергетических позиций бегущая волна интересна тем, что способна переносить энергию без переноса вещества. В упругой волне кинетическая энергия ко­леблющихся частиц среды переходит в потенциальную энергию деформаций среды (сжатий - разряжений и сдвигов) и обратно. Также как и при гармони­ческих колебаниях, вследствие консервативного характера взаимодействий, максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии: Е_{к макс} = Е_{п макс} = Е_ = const.

Для одной частицы массой m: Е_к1 = mu²2 = m(х^)²2 = (m²А²2)sin² (t – kr + ), откуда Е_{к1 макс} = (m²А²2) = Е_{1 }.

Рассмотрим объём V = St, возбуждаемый волной за время t. Полная энергия частиц, колеблющихся в объёме V (энергия, привнесённая волной в данный объём, возбуждённая волной в нём) равна: Е_ = Е_{к макс} = Е_{к1 макс}  = (m²А²2)nV.

Так как mn = , то Е_ = (²А²2)V, где n - концентрация частиц среды,  - плотность среды.

Энергия w единицы объёма (объёмная плотность энергии) равна: w = Е_V = ²А²2; [w] = [Джм³].

Энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии или вектором Умова и равна: S = Е_St = (²А²2) = w; [S] = [Джм²с].

27. Сложение волн. Принцип суперпозиции. Стоячая волна. Узлы и

пучности в стоячей волне. Энергия стоячей волны.

В отличие от колебания волна является видом движения периоди­ческим не только во времени, но и в пространстве. Формально сложение волн, изо­бражаемых гармоническими функциями, сводится к сложению этих функций с помощью векторной диаграммы. На ней гармонические функции времени изображаются вращающимися векторами амплитуды. Точно также бегущие гармонические волны в каждой точке пространства можно за­менить векторами, и сложение волн в пространстве представить как сложение векторов.

Рассмотрим сложение двух бегущих гармонических волн одинаковой частоты и направ­лений колебания частиц упругой среды. Пусть эти волны задаются следующими уравнениями:

х₁ = А₁cos (t – kr₁) = А₁cos Ф₁

х₂ = А₂cos (t – kr₂) = А₂cos Ф₂

где r₁ и r₂ - расстояния, проходимые первой и второй волнами до неко­торой точки М, в которой нас интересует их совместное проявление, их сложение. Заменяя гармонические функции равномерно вращающимися с угло­вой скоростью  векторами амплитуды, первоначально наклонёнными к оси х под углом начальной фазы Ф_о соответствующей волны, запишем выражения для модуля и угла наклона к оси х результирующего вектора;

х = х₁ + х₂ = А₁cos Ф₁ + А₂cos Ф₂ = Аcos Ф; А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂cos Ф: Ф = Ф₂ – Ф₁;

tgФ = (А₁sin Ф₁ + А₂sin Ф₂)(А₁cos Ф₁ + А₂cos Ф₂).

Значение амплитуды результирующего колебания в точке М зависит от раз­ности фаз Ф, с которой приходят в эту точку складываемые волны. При этом возможны следующие два принципиально различных случая:

1. Разность фаз складываемых волн хаотически меняется во времени так, что среднее по времени значение от косинуса разности фаз равно нулю, т. е. <cos Ф> = 0. Такие волны называются некогерентными (не связанными по фа­зе), и для них среднее значение А² квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме средних квадратов (а фактически просто квадратов) амплитуд складываемых волн; А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂cos Ф> 

А² = А₁² + А₂² или J = J₁ + J₂, где J  А² – интенсивность волны (величина, пропорциональная среднему квадрату амплитуды).

В этом случае во всём пространстве независимо от разности фаз складываемых волн (и их разности хода) происходит сложение интенсивностей (средних квадратов амплитуды).

2. Складываемые волны когерентны, то есть, связаны по фазе, что выражается в неравенстве нулю среднего значения по времени от, косинуса разности волн:

cos Ф>  0; cos Ф> =  cos [k(r₁ – r₂) + ] =  cos [2(r₁ – r₂) + ]   0 и А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂ cos Ф - результирующая амплитуда изменя­ется от максимального значения равного А_макс = А₁ + А₂ при cos Ф = 1,

до минимального значения А_мин = А₁ – A₂ при cos Ф = - 1.Таким образом, при сложении когерентных волн в пространстве возникает картина чередующихся областей повышенной и пониженной интенсивности J (J  А²) волнового процесса. Эта картина называется интерференционной, и само явление сложения когерентных волн, сопровождающееся возникновением чередующихся в пространстве максимумов и минимумов результирующей волны, называется интерференцией.

Получим условия для экстремумов при интерференции для упрощённого слу­чая равных начальных фаз складываемых волн, т. е. для  = 0.

Максимумы: cos Ф = 1 => Ф =  2m; (2)(r₁ – r₂) = ± 2m  r₁ – r₂ =  m. Разность хода складываемых волн для образования максимума должна быть кратной целому числу m длин волн. Сами волны оказываются при этом синфаз­ными и при наложении усиливают друг друга.

Минимумы: cos Ф = -1  Ф = (2)(r₁ – r₂) = ± (2m + 1)  r₁ – r₂ =  (m + 12) - возникают в тех местах пространства, разность хода складываемых волн до которых, составляет нечетное число длин полуволн или полуцелое число длин волн. При такой разности хода, складываемые волны приходят в соот­ветствующую область в противофазе и взаимно компенсируют, ослабляют друг друга. При A₁ = А₂, А_мин = А₁ – А₂ = 0.

Частным, но важным случаем сложения и интерференции когерентных волн является сложение противоположно распространяющихся (например, падающей от источника и отражённой от какого-либо препятствия) волн. Результатом такого наложения является возникновение так называемых стоячих волн.

Рассмотрим сложение двух, бегущих в противоположные стороны гармонических волн, с одинаковой частотой и амплитудой колебаний:

х = х₁ + х₂ = Аcos(t – kr) + Аcos(t + kr) = 2Аcos krcos t.

Получили уравнение стоячей волны, в соответствии с которым, все точки стоячей волны колеблются с разными амплитудами и, либо в одной фазе, либо в смещенной относительно неё на 180°. В бегущей волне, наоборот

амплитуды разных точек были одинаковыми (для рассматриваемых нами плоских волн), а фазы различными.

Точки, колеблющиеся с максимальными амплитудами, называются пучностями стоячей волны; они наблюдаются при координатах определяемых условием:

сos 2r =  1  r_пуч =  m2, где m = 0, 1, 2, …

Точки, колеблющиеся с нулевой амплитудой (точнее сказать, не колеблю­щиеся), называются узлами стоячей волны. Их координаты определяются условием:

сos 2r = 0  r_уз =  (m + 12)2, где m = 0, 1, 2, …

Расстояние между соседними пучностями, так же, как и между соседними уз­лами, равно 2. Все точки, лежащие между соседними узлами, колеблются синфазно, в то время как фазы точек, лежащих по разные стороны от узла, отличается на 180°. Все точки стоячей волны одновременно проходят поло­жения равновесия (cos t = 0) и все они одновременно достигают максимума.

Как и в колебаниях, в стоячей волне дважды (cos t =  1) за период прои­сходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно.

Движение частиц среды в стоячей волне по существу не является волновым движением; в уравнении стоячей волны утрачена характерная особенность волны - конечная скорость распространения фазы. Энергия вдоль стоячей волны не переносится, а может лишь передаваться в пределах отдельных участков волны, расположенных между двумя соседними разноимёнными узлами, т. е. между узлом деформаций и узлом скоростей.

В стоячей волне кинетическая энергия сосредоточена в основном вблизи пучностей волны (где максимальна скорость u = dх/dt - колеблющихся частиц), а потенциальная энергия сосредоточена в основном вблизи узлов волны, где находятся максимумы деформаций dr/dх. Таким образом, максимумы в стоячей волне для кинетической и потенциальной энергий разнесены не только во времени (на четверть периода Т/4), но и в пространстве (на 4). Энергия переходит от узла (где она - потенциальная) к пучности (где она - кинетическая) и обратно. Средний же по вре­мени поток энергии в любом сечении волны равен нулю, т. е. стоячая волна энергии не переносит, вектор Умова для неё равен нулю.

В случае свободных колебаний струн, стержней и столбов воздуха в трубах в них устанавливаются стоячие волны, причем на длине L колебательной системы с закрепленными (закрытыми) концами укладывается целое число полуволн: L = m2, где m = 1, 2, 3,... Собственные частоты колебаний таких распределённых систем соответственно принимают следующие дискретные значения: _m =  = m2L.

Частота основного тона (m = 1) натянутой струны равна ₁ = (12L)(FS), так как ско­рость поперечных волн в струне  = (FS), где F - сила натяжения струны,  и S - плотность материала струны и площадь её поперечного сечения.

Для стержней, один конец которых закреплён, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого, l = (2m - 1)4 и собствен­ные частоты колебаний _m = (2m - 1)4l.