54. Длина отрезка и длительность событий в различных системах отсчета. Кинематические следствия из преобразований Лоренца.

3. Относительность одновременности собы­тий.

Пусть в ИСО (К) происходят 2 события, зада­ваемые координатами x_1, y_1, z₁, t₁ и x_2, y_2, z₂, t₂, причем t = t_2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одно­временно.

Громадной заслугой Эйнштейна явилось то, что он обратил внимание на то, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определе­но, как фиксиро­вать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, пред­полагающим бесконечной скорость распро­странения взаимодействий (что дос­таточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что раз­несённость событий в пространстве не может влиять на характер их времен­ного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления фак­та одновремен­ности разноместных событий, основанный на размещении в этих цветах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент t_о, они покажут время t_х = t_о + х/c.

Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим высокой (предельно высо­кой), но не бесконечной скоростью, то часы, синхро­низи­ро­ванные в одной ИСО, окажутся разсинхрони­зиро­ванными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и отно­сительность временных и пространственных интерва­лов (длительностей и длин).

Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца: в ИСО (К^) событию 1 соответствует момент времени t₁^ = (t₁ - VХ₁С²)(1 - V²С²), а событию 2  момент t₂^ = (t₂ – VХ₂С²)(1 – V²С²), так, что при t₁ = t₂, t₂^ – t₁^ = [(Х₁ – Х₂)VС²](1 – V²С²), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К^).

В классическом (дорелятивистском) пределе, при V  с, t₂^ – t₁^  0, факт одновременно­сти двух событий становится аб­солютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с   или с  V.

В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолют­ной лишь в частном случае одноместных событий: при х₁ = х₂ всегда при t₁ = t₂ и t₁^ = t₂^.

4. Относительность длины тел (пространственных интервалов).

Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной l_о = х₂ – х₁.

ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственны­ми.

В ИСО (К^), относительно которой стержень движется и которая называется лаборатор­ной ИСО, длина стержня l^ = х₂^ - х₁^ определяется как разность значений координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t₁^ = t₂^.

Используя формулы преобразований Лоренца для х₁ и х₂, содержащие время в штрихованной ИСО (К^), установим взаимосвязь l и l^:

х₁ = (х₁^ + Vt₁^)(1 - V²с²); х₂ = (х₂^ + Vt₂^)(1 - V²с²);  х₂ - х₁ = (х₂^ - х₁^)(1 - V²с²)

или окончательно: l^ = l_о(1 - V²с²) – эта формула выражает закон прео­бразования длин (пространственных интервалов), согласно которому в на­правлении перемещения размеры тел сокращаются. Этот эффект относитель­ности длины тел, их релятивистского сокращения в направлении перемещения является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамичес­ким, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным с выбранным способом определения (измерения) длины и конечно­стью скорости распростране­ния взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчёта (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).

Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естест­венно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медлен­ных движений) он и не обращал на себя внимания.

Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотно­шения между длительностями двух процессов, измеряемых из разных ИСО, одна из которых является собст­венной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разность моментов конца и начала процесса) _о одними и теми же часами, приводит к следующим результатам:

^ = _о(1 - V²с²), где _о - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а ^ - длительность того же процесса, от­считываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.

Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокра­щения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процес­са часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости пред­ставляет собой опыт с мю - мезонами, нестабильными частицами, образую­щимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих её космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть до­лететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.

Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчётах соб­ственное время жизни пи - мезонов _о = 210^-6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый пи – мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращённой", "укороченной" соответственно множителю (l –V²/с²). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрас­тает пропорционально 1/(l–V²/с²). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами в реальном эксперименте и явлении природы.

При малых скоростях V  с релятивистская формула преобразо­вания длительностей процессов переходит в классическую   ^. Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет реля­тивистскую относительность и становится абсолютной, т. е. не зависящей от выбора ИСО.

Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х^, t и t^, в формулах преобра­зований Лоренца и, поделив dх на dt и dх^ на dt^ , то есть, образовав из них скорости _х = dх/dt и _х^ = dх^/dt^.

dх = (dх^ + Vdt^)/(l –V²/с²); dt = (dt^ + Vdх^/с²)/(l –V²/с²); 

dх/dt = (dх^ + Vdt^)/(dt^ + Vdх^/с²) = (dх^/dt^ + V)/[1 + V(dх^/dt^)/с²]  _х = (_х^ + V)(1 + V_х^/с²)

dх^ = (dх - Vdt)/(l –V²/с²); dt^ = (dt - Vdх/с²)/(l –V²/с²); 

dх^/dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с²) = (dх/dt - V)/[1 - V(dх/dt)/с²]  _х^ = (_х - V)(1 - V_х/с²)

Формулы _х = (_х^ + V)(1 + V_х^/с²) и _х^ = (_х - V)(1 - V_х/с²) и выражают собой реля­тивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей при пере­ходе от ИСО (К) к ИСО (К^) и наоборот.

В дорелятивистском пределе малых скоростей   c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложе­ния скоростей: _х = _х^ + V и _х^ = _х – V.

Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К^) имеем скорость _х^ = с и ИСО (К^) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по пре­жнему равна с:

_х = (_х^ + V)(1 + V_х^/с²) = (с + с)(1 + сс/с²) = с. Классический же закон сложения приводил к результату: _х = _х^ + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал в себе ограничений на "потолок" скоростей.